On suppose aucun frottement dans l'air, et que la bille roule et ne glisse pas sur le plan.

Chute libre axe Bz orienté verticalement vers le haut
a=-g (pesanteur seule force)
v=-gt
[TeX]z=-\frac12gt^2+h[/TeX]
On cherche t tel que z=0 : [latex]t=\sqrt{\frac{2h}g}[/latex]
Donc la vitesse vaut en B : [latex]v_1=\sqrt{2hg}[/latex]

Roulement plan incliné
Je choisis pour axes : (AC) axe des x (orienté de A vers C), et l'axe y orthogonal au plan incliné (vers le haut). Mon repère est donc (A,Ax,Ay)



Raisonnons de manière énergétique
m masse de la bille, [latex]x[/latex],[latex]\dot x[/latex],[latex]\ddot x[/latex] les position,vitesse,accélération du centre de la bille.
[TeX]E_p=mgx.\sin(\alpha)[/latex] (le poids est la seule force qui travaille)
[latex]E_c=\frac12m\dot x^2+\frac12I_G\omega^2[/TeX]
où [latex]\omega[/latex] vitesse angulaire de rotation de la bille
et [latex]I_G[/latex] est le moment d'inertie de la boule par rapport à son axe de rotation.
Ca peut se calculer, sinon on cherche et on trouve : [latex]I_G=\frac25mR^2[/latex] avec R rayon de la bille

En dérivant l'énergie mécanique (énergie potentielle + énergie cinétique), qui doit être constante :
[TeX]0=\frac{d}{dt}\left ( \frac12m\dot x^2+\frac12\frac25mR^2\omega^2 - mgx.\sin(\alpha) \right )[/TeX]
donc [latex]0=m\dot x\ddot x + \frac25mR^2\dot \omega \omega - mg\dot x \sin(\alpha)[/latex]
La condition de non glissement est : [latex]\dot x=-R\omega[/latex] (vitesse nulle au point de contact O), donc on peut diviser par [latex]\dot x[/latex] (cas pas très intéressant ...) et par m :
[TeX]0=\ddot x + \frac25\ddot x -g\sin(\alpha)[/TeX]
et finalement [latex]\frac75\ddot x = g\sin(\alpha)[/latex]
[TeX]\frac75\dot x = g\sin(\alpha)t[/TeX]
[TeX]\frac75 x = \frac12g\sin(\alpha)t^2[/TeX]
On cherche t tel que x vaut [latex]\frac h{\sin(\alpha)}[/latex]
[TeX]t=\sqrt{\frac{14h}{5g}}\frac1{\sin(\alpha)}[/TeX]
A cet instant, la vitesse vaut :
[TeX]v_2 = \sqrt{\frac57}\sqrt{2hg}[/TeX]
On voit donc que le rapport des 2 vitesses vaut [latex]r=\frac{v_2}{v_1}=\sqrt{\frac57}[/latex]

La bille sur le plan incliné a une vitesse qui vaut 84,5% de celle de la bille en chute libre.
La billle sur le plan incliné a donc une vitesse 15,5% inférieure à celle de la bille en chute libre



L'astuce est de ne pas considérer la boule comme un point matériel, du coup ça introduit le moment d'inertie et le rapport [latex]\frac25[/latex]

Et puis la balle en chute libre accélère jusqu'à une vitesse limite dépendant du coefficient de frottement avec l'air. Bref pour moi c'est énigme est utopique sans les informations nécessaires.

Si il s'agit bien d'une balle (creuse) et non d'une boule (pleine), la réponse n'est pas la même mais elle dépend encore de l'épaisseur de la paroi. A moins que l'on suppose que la masse soit entièrement répartie à la surface de la balle (épaisseur de paroi tendant vers 0) ...

La vitesse de la balle sur le plan inclinée est égale à celle de la balle en chute libre affecté d'un coefficient égal au sinus de la pente du plan incliné. La balle qui roule se déplace avec une vitesse de [latex](1-sin\alpha)[/latex] % inférieure à celle de la balle qui tombe en chute libre.

exemple:
un plan à 20% a une pente de 11,3º. Après une seconde, la balle en chute libre a une vitesse de 9.81 m/s, cette vitesse est verticale. La balle qui roule une vitesse de sin(11,3)*10=1.96m/s sur le plan incliné; cette vitesse est (1-sin(11.3))=80% inférieure à celle qui tombe librement.
Pour une pente à 100%, la vitesse de la balle qui roule serait 29% inférieure a celle de la balle qui chute.

Donc c'est faisable ?
etrange...

Essayons de rassembler mes vieux souvenirs ...

Soient Vcl la vitesse de la balle en chute libre, Vr la vitesse de la balle qui roule, R le rayon de la balle, m sa masse, I son moment d'inertie, [latex]w[/latex] sa vitesse de rotation.

Au bout d'un certain temps, l'énergie potentielle W = m*g*h de la balle se sera transformée en énergie cinétique :
Wcl = 1/2 *(m*Vcl²) pour la balle en chutte libre
et Wr = 1/2 *(m*Vr² + I*[latex]w[/latex]²) pour la balle sur le plan inclinée.

(à condition bien sûr, que l'on néglige le coëfficient de résistance au roulement et le frottement visqueux de l'air, d'une part, et, d'autre part que l'angle du plan incliné soit inférieur à l'angle d'adhérence balle/plan.)

Avec I = 2/3 (m*R²)  et  [latex]w[/latex] = Vr/R on obtient :
Wr = 1/2 *m*(Vr² + 2/3 *Vr²)
Donc Vcl² = 5/3 * Vr²    et  [latex]Vr = sqrt{3/5}*Vcl[/latex]

Sauf erreur de ma part, la vitesse de la balle qui roule sera donc 22.54 % inférieure à celle de la balle en chutte libre.

Remarque : Avec une shère pleine, le terme 2/3 devient 2/5 et la vitesse de la balle qui roule sera 15.48 % inférieure à celle de la balle en chutte libre.
Avec une balle d'épaisseur non nulle, la valeur recherchée sera intermédiaire entre ces 2 valeurs.

264 m, valeur bien supérieure à 62,5 m calculée en 1. Il faut prendre en compte la résistance de l'air. Le modèle de la chute libre n'est pas correct.

Au fait un plan comporte au moins 3 points. Je sais je suis chiant. Mais il est tellement bizarre cet énoncé.
J'attends la réponse avec impatience !

Pas besoin de connaître la valeur de l'angle A.

Si on compare les vitesses de passage à hauteur donnée, Gazole a évidemment raison.
Mais ces vitesses ne seront pas atteintes à un même instant.

L'énoncé laisse entendre que la comparaison porte sur les vitesses à un même instant.
Il est évident que l'angle A intervient, pour s'en convaincre, mettez-le à 89° et attendez !

Vous vous êtes tous plantés, même l'auteur, ou alors il a mal rédigé l'énoncé.
Il aurait dû dire "vitesses à l'arrivée en bas" au lieu de "se déplace avec une vitesse".

Je ne m'y suis pas mis sur celui-là,
- d'une part parce que l'énoncé était pas clair (il fallait deviner qu'on parlait des vitesses en bout de course), ça n'est plus de la physique mais de la psychologie ("trouver la logique de SaintPierre)
- et d'autre part, je trouve que Saint-Pierre n'assure pas beaucoup le SAV (sans doute occupé à autre chose j'imagine)... pas très cool

Je suis d'accord pour dire avec gazole que l'énoncé n'était pas très clair et qu'il fallait d'abord faire preuve de logique pour deviner quelle pouvait être la seule question complète raisonnable. Mais, à mon humble avis, cela ne fait que rajouter du sel à la résolution d'une énigme.

Un peu d'accord aussi pour dire que SaintPierre n'assure pas toujours un suivi régulier...
Alors, je vais essayer d'y remédier.

Je constate que :
- pour que le problème ait un sens, il fallait le compléter par : vitesse ... au moment où le centre de gravité de la balle passe par le plan horizontal dont la trace sur le plan vertical des chutes est BC.

- LOOping et halloduda, les seuls à avoir envisagé le moment d'inertie, parlent et utilisent celui d'une boule pleine et non d'une balle (en général, creuse).

-  je trouve exactement le même résultat que LOOping (-15.48 %) dans le cas qu'il a considéré.

- que c'était un bon problème (avec les réserves déjà citées) pas du tout insoluble puisque certains y sont arrivés. Merci SaintPierre.