En l'absence de Mathias, je me permets de répondre

Cette transformation est tout à fait correcte.
Il n'y a rien de magique dans l'utilisation du symbole de somme. C'est simplement un "raccourci" d'écriture pour écrire une somme.
Toutes les opérations sur les sommes sont valables.

ATTENTION: ceci est vrai uniquement lorsque la somme porte sur un nombre fini de termes. On peut utiliser ce symbole pour faire des sommes "infinies" c'est-à-dire considérer comme une suite les résultats des sommes pour des nombres successifs de l'indice supérieur et passer à la limite. Il y a là une mine de problèmes, les règles des opérations n'étant plus légitimes.

Exemple:
[TeX]\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac1{i^2}=\dfrac{\pi^2}6[/TeX]
Dans ce cas, la somme à une valeur parce que la suite:
[TeX]u_n=\sum_{i=1}^n\dfrac1{i^2}[/TeX]
converge lorsque n tend vers l'infini et la valeur de cette limite ([latex]\dfrac{\pi^2}6[/latex]) est la valeur que l'on donne par convention à la construction symbolique (utilisant des symboles) ci-dessus.

Par contre:
[TeX]\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^i[/TeX]
n'a aucun sens car la suite:
[TeX]u_n=\sum_{i=1}^n(-1)^i[/TeX]
ne converge pas.
On voit d'ailleurs sur cet exemple que lorsque la somme comprends un nombre infini de termes les règles habituelles ne s'appliquent pas.
Prenons l'exemple de la commutativité.
Cette somme vaut 1 -1 +1 -1 +1 -1 ....
Si je regroupe les termes 2 par 2 elle donne: 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0
Si j'isole le premier terme et que je regroupe les termes 2 à 2 elle donne:
1 + 0 + 0 + 0 + .... = 1

Amusant non?

Cela ne fonctionne effectivement pas.

Exemple avec n=3
S(3)=1+2³+3³ et on voit bien qu'on ne peut rien mettre en facteur.
et
S'(3)=(1+2²+3²)( 1+2+3); qui est complément différent de ce qui est au dessus.

La somme des cubes est
[TeX]\sum_{j=0}^n j^3 =\frac1 4 n^2 (n+1)^2[/TeX]

MthS-MlndN a écrit:

Je crois que Boubouain a très peur, maintenant

Ceci dit, la méthode est bonne... Regarde, Kosmo, je te montre avec celle-ci :

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84...

On considère les écarts :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28...

Toujours pas linéaire, alors on prend les écarts des écarts :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

Je tente un essai avec:

1, 6, 21, 56, 126

cela donne:

1, 5, 15, 35, 70
1, 4, 10, 20, 35
1, 3, 6, 10, 15
1, 2, 3, 4, 5



Si j'ai bien compris, j'ai donc affaire à un polynôme de degré 5 !
[TeX]S_n = an^5+bn^4+cn^3+dn^2+en+f[/TeX]
On prend les cinq premiers termes :
[TeX]S_1 = a+b+c+d+e+f = 1
S_2 = 32a+16b+8c+4d+2e+f=6
S_3 = 243a+81b+27c+9d+3e+f=21
S_4 = 1024a+256b+64c+16d+4e+f=56[/TeX]

Ok
Mais là je découvre mes lacunes et je pensais que le nombre d'équations à poser était suffisant.
Donc j'en rajoute 2 autres:
[TeX]S_1 = a+b+c+d+e+f = 1
S_2 = 32a+16b+8c+4d+2e+f=6
S_3 = 243a+81b+27c+9d+3e+f=21
S_4 = 1024a+256b+64c+16d+4e+f=56
S_5 = 3125a+625b+125c+25d+5e+f=126
S_6 = 7776a+1296b+216c+36d+6e+f= 252
[/TeX]

Je trouve que Mathias se fatigue pour rien dans un de ses posts :

1 1 1 1 1..........: 1
1 2 3 4 5...........:p
1 3 6 10 15 .......:p(p+1)/2
1 4 10................:p(p+1)(p+2)/6
.
.
.
1 k .................:p(p+1)(p+2)(p+3)....(p+k-2)/(k-1)!

Je laisse boubouain conclure sur son exemple sans se fatiguer.

Yanyan a écrit:

Je laisse boubouain conclure sur son exemple sans se fatiguer.

Wolfram|Alpha ne répondant pas à mes attentes et me disant en plus plein de choses en grand breton, je vais adopter la formule avec le k !

Il a écrit (k-1)! c'est à dire la factorielle c'est à dire 1*2*3*4...(k-1).