Oui peut être Rivas, ta position se défend dans le cas général, 0*inf=ce qu'on veut. Mais ce n'est pas ce que j'ai trouvé pour ce cas particulier là.

Salut,
Je suis tombé sur le post avec la diagonale, j'ai eu le courage de lire la première page et la flemme de lire les suivantes donc je ne sais pas ou tu en es.

Voici ma contribution pour tenter de te faire comprendre cette démonstration simple et absolument rigoureuse.

Déjà je précise ce que veut dire dénombrable car il me semble parfois avoir vu des phrases pas claires à ce sujet.

Un ensemble E est dénombrable lorsqu'on peut le mettre en bijection avec N.
De manière enfantine ceci veut dire que sur chaque élément de E tu peux mettre une étiquette avec dessus un entier toujours diffèrent et que chaque élément de E aura son étiquette.

Lorsqu'on se demande si un ensemble est dénombrable la question n'a de sens que si cet ensemble contient un nombre infini d'éléments.

Remarque sur l'écriture décimale:
C'est pénible mais la démonstration ne peut être faite proprement avec cette écriture car aussi impressionnant que cela puisse paraitre il n'y a pas unicité de écriture en décimale:

0.9999999....     et  1  c' est le même chiffre.    Pas "presque le même"   mais exactement le même.   (demo:  x=0.999...     10x = 9.999...   10x = 9+x  9x=9  x = 1)

Donc pour être plus propre en général on utilise plutôt un autre ensemble de même taille que les réels mais plus commode,  les suites infinies de 0 et de 1.

Donc ce que je propose de démontrer ici c'est que l'ensemble des suites infinies de 0 et de 1 n'est pas dénombrable, je vais mettre des lettres a) b) c) et tu me diras ou tu buttes.

a) On suppose que l'ensemble des suites infinies de 0 et 1 est dénombrable.

b) Ce ci veut dire qu'on pourrait construire un tableau infini du genre ci dessous, ou on placerait toutes les étiquettes entiers à gauche et la suite hypothétiquement associée a droite.   La supposition faite en a) veut dire qu'à gauche on a tous les entiers et qu'à droite on a toutes les suites infinies de 0 et de 1. Pour le moment a) n'est qu'une supposition mais si on la fait alors on a bien un tableau de ce genre.

1 ->   000010000...
2 ->   000010110...
3 ->   000010000...
... ->  100010001...
...

c) On considère la suite infinie de 0 et de 1  issue de ce tableau hypothétique formée par le premier élément de la suite associé à l'entier 1, le 2eme élément de la suite associé a l'entier 2 etc....  En d'autres termes la diagonale de la partie de droite.

d) on considère l'opposé de cette diagonale ou tous les 1 seraient des 0 et tous les 0 des 1.

e) toujours si notre hypothèse sur le tableau est correcte alors cette diagonale inversée doit se trouver dans le tableau, peut être très loin mais elle doit y être car par supposition notre tableau contient à droite toutes les suites infinies de 0 et de 1.

f) Or si elle s'y trouve il y aura une contradiction sur le terme qu'elle a en commun avec la diagonale car si cette diagonale c'est le contraire d'elle comment pourrait elle se couper sur le même 0 ou 1 ?

g) Conclusion par l'absurde l'hypothèse a) de base est fausse, l'ensemble des suites infinies de 0 et de 1 n'est pas dénombrable. CQFD

D'instinct je pense que c'est f) qui te posais probleme, (à l'époque de la page 1) car quelque soit le moment ou cette suite construite se trouvera dans le tableau même très tard, il est impossible qu'elle ait en commun le même terme avec son propre opposé. C'est l'argument fondamental de la demo.


Voila voila.

Salut Mathias,

Tu me cites hors contexte.
Jamais au grand jamais je n'écris 0.oo=1. Je l'ai écrit ici pour mieux le dénoncer, pour mieux mettre en évidence l'absurde de la situation. C'est cela le contexte.

Je pense avoir moi-même dit des dizaines de fois ici que l'infini n'est pas un nombre et que l'on ne peut pas y appliquer les opérations usuelles des nombres...

J'ai toujours essayé dans mes écrits d'être vraiment rigoureux sur la manipulation de l'infini dans l'écriture des "expressions mathématiques" comme dans la prose qui va autour.

Je ne veux justement pas laisser l'infini aux vrais mathématiciens (qu'est-ce qu'un vrai mathématicien d'ailleurs? Pourquoi n'en serions nous pas?) parce que j'aimerais pouvoir aider le plus grand nombre à appréhender correctement les difficultés de l'infini et à en éviter les pièges. En ce sens, tu as tout à fait raison, je suis un ardent défenseur de la vulgarisation des maths pour les néophytes mais je pense que toi aussi et la plupart des habitués de ce forum aussi...

Et d'ailleurs à ce sujet: la démonstration que 0,9999....=1 en passant par x et 10x n'est pas correcte non plus A PRIORI car on utilise la multiplication par 10 sans justifier que c'est légitime. Pour être tout à fait précis il faudrait justifier que 0,99999.... est bien un nombre réel et non pas une écriture dénuée de sens (comme on l'a fait pour racine(-1)). L'argument est simple mais il faudrait commencer par:
0,99999.... est bien un nombre réel car c'est la limite d'une série convergente et R étant complet, cette limite appartient à R. On peut donc appliquer les opérations usuelles à ce nombre. Et la ça a tout son sens.

Toutes les écritures n'ont justement pas de sens. Comme 0/0, 0xoo, ...

Merci Clydevil pour ta belle démo.
Cantor extirpe de l'ensemble un élément différentiable de tous les autres et en déduit que cet élément n'est pas dans le dénombrable. Très bien.
Je fais à mon tour une démo sur les entiers par différentiation:
On prend le 1er entier de la liste (ces entiers ne sont pas forcément dans l'ordre), on lui ajoute 1, ça donne NN.
On prend le second entier de la liste, on le teste avec NN, si NN> à ce nombre, on garde NN, sinon, on prend ce nouveau et on lui ajoute 1.
Etc...
Il est donc évident que NN sera différent de tous les entiers de la liste (ce sera le plus grand en fait) et à la fin j'en déduis que l'ensemble des entiers n'est pas dénombrable.
Je ne vois pas où se cache le sophisme....

@nodgim: à propos de ta démonstration.

La démonstration de la diagonale est une démonstration par l'absurde. On suppose qu'un certain intervalle est dénombrable, que donc l'on peut numéroter tous les réels de cet intervalle et on en construit un du même intervalle qui n'a pas été numéroté, ce qui contredit l'hypothèse.
Si tu veux faire une démonstration équivalente, il faut donc choisir N ou un sous ensemble infini de N (s'il est fini, il n'y a rien à montrer), supposer qu'il  est dénombrable, numéroter ses éléments et en exhiber un DE CET ENSEMBLE qui n'a pas été numéroté.

Tu ne précises pas l'ensemble que tu utilises. Tu dis seulement: "une démo sur les entiers". Je suppose que cela veut dire que l'ensemble que tu considères est N. Sinon précise l'ensemble que tu considères.
Vu la construction de ton NN, il faut que pour chaque élément de l'ensemble le suivant soit aussi dans l'ensemble car c'est le nouveau NN. S'il n'est pas dans l'ensemble le NN final n'est potentiellement pas dans l'ensemble non plus et on ne pourrait rien conclure. On travaille donc sur N entier ou ou moins sur un intervalle de N du type [latex]E=]n_0,+\infty[[/latex]. Sinon tu ne peux pas garantir que NN est dans E vu sa construction.

D'autre part, je ne vois pas ce que viens faire la supposition sur l'ordre. La démo ne change pas quelque soit l'ordre que l'on choisisse, on peut donc prendre l'ordre naturel à condition de ne pas ensuite se servir de cet ordre particulier comme argument.

Tu demandes ensuite où se trouve l'erreur.
Elle est assez énorme quand même:
"Il est donc évident que NN sera différent de tous les entiers de la liste (ce sera le plus grand en fait)"

N (ou E) n'a pas de plus grand élément... C'est quand même énorme non?
Si un sous-ensemble d'entiers à un plus grand élément [latex]n_{max}[/latex]c'est qu'il est fini et inclus dans [latex]N \cap [0, n_{max}][/latex]. Et si l'ensemble est fini la démo n'a plus aucun intérêt.

De plus si NN n'appartient pas à N (ou E) tu ne peux rien conclure sur N (ou E) quant à sa dénombrabilité (voir ci-dessus). Il faut donc qu'il y appartienne et dans ce cas vu sa forme, il a déjà été numéroté...

En fait ta démonstration permet presque de montrer qu'un ensemble fini ne peut-être en bijection avec une de ses parties, ce qui est un critère de finitude (à condition d'accepter l'axiome du choix).

Je pense vraiment que tu devrais investir ton temps à lire des références sur ces sujets avec l'objectif d'accepter ces concepts plutôt que de le passer à le srejeter et à essayer de produire des démos impossibles sans même les relire calmement (sinon tu dois quand même bien voir le problème d'annoncer un plus grand élément d'un ensemble infini d'entiers non?).

Wikipedia a de bonnes pages sur la dénombrabilité, l'infini, ...

Merci à tous pour votre contribution à ce thème. En particulier à Clydevil et Rivas qui ont fait preuve de beaucoup de patience.
Ma conclusion est que l'infini est très complexe, et qu'on ne peut pas y aller comme ça sans prérequis minimum....

nodgim a écrit:

Merci à tous pour votre contribution à ce thème. En particulier à Clydevil et Rivas qui ont fait preuve de beaucoup de patience.
Ma conclusion est que l'infini est très complexe, et qu'on ne peut pas y aller comme ça sans prérequis minimum....

De rien.
J'espère que ce que j'ai écrit a pu te donner (et aux autres pas encore au fait de ces sujets aussi) des pistes pour mieux appréhender ces sujets qui sont en effet complexes.

Mon dernier conseil: pour appréhender l'infini, il faut le faire globalement et non itérativement...

Euh, ce qui est écrit dans ton post précédent n'est pas ma position ou alors je me suis mal compris moi-même...

En mathS pardi ! ..... désolé j'ai des spasmes parfois

Bon te pe rajouter le S à math s'el te ple *.* [Dit-il avec une voix d'enfant]

Shadock

Merki

Je suis un peu foufou, mais c'est-à-écrire que dans les mathématiques, il y a l'analyse, la géométrie, l'arithmétique... Et comme on a l'habitude de dire "les" cela veut aussi dire que l'analyse au même titre que la géométrie euclidienne est une mathématique des mathématiques.

Je sors --------> [] Spoiler : [Afficher le message]

"L'avantage de la simplicité"

"Everything should be made as simple as possible, but not simpler." Albert Einstein (et celle-ci n'est probablement pas apocryphe)

Voilà un argument qui ne me plait pas, car ça démonte mon jugement, et contre lequel je n'ai rien à répondre: On arrivera toujours à glisser la moyenne entre 2 réels...
Merci Clydevil, enfin un argument imparable.

rivas a écrit:

La je me sens un peu vexé.

Comme je te comprends... Gaspiller sa salive pour rien ne fait jamais plaisir.