Pour en revenir au sujet principal, une entêtante question:
Si vous tracez un trait de longueur 1, il est évident que vous passez en revue tous les points du segment, sans en oublier un seul, et dans l'ordre encore. Or, ils sont infinis ces pts. C'est drôle tout de même de penser ce que ce simple tracé réalise, alors que si vous essayez de les compter 1 par 1, ces points, vous n'en verrez jamais le bout..

Plus curieux. Le 1er pt (ça m'obsède ça, le 1er point) si on devait lui donner une valeur, en écriture décimale, c'est pas 0.001, c'est plus petit, 0.000...0001. De 2 choses l'une: ou je sais l'écrire, ce 1er point, alors j'encadre l'infini des 0 entre 2 valeurs, la virgule et le 1 ce qui est étrange pour un infini. Ou je dis que son écriture c'est 0.000... mais alors je ne sais plus faire la différence avec le 0 initial, et alors je me trompe, car j'écris en fait 0. Ou 3ème option, on ne peut l'écrire. Ce qui signifie que je n'arrive pas à faire le lien entre ce point et le nombre réel.
Si 0.00..001 peut s'écrire (Math non standard) alors ça fiche un peu par terre le tableau de Cantor, car là on pourrait borner à l'infini ce qui se passe à droite du tableau.
Si 0,00..001 n'existe pas, alors on ne sait pas non plus écrire le 2ème pt, ni le 3ème,..et au final, on ne sait pas décrire beaucoup de points.

nodgim a écrit:

Le 1er pt (ça m'obsède ça, le 1er point)

Ce "1er point" n'existe pas. Dit autrement, pour tout nombre réel x > 0 il existe un nombre réel strictement compris entre 0 et x (il suffit de considérer x/2). Imaginons une bestiole infiniment petite qui peut se déplacer sur les nombres réels et se placer précisemment sur chacun d'entre eux. Si on place cette bestiole sur un segment privé de ses extrémités, alors tout se passera pour elle comme si on l'avait placé sur une droite : elle pourra se déplacer "à l'infini" dans un sens comme dans l'autre car où qu'elle soit, il y aura toujours un nombre après (pas de "1er point" pour l'arrêter")

nodgim a écrit:

Si 0,00..001 n'existe pas, alors on ne sait pas non plus écrire le 2ème pt, ni le 3ème,..et au final, on ne sait pas décrire beaucoup de points.

Dans la démonstration de Cantor il n'est nullement indiqué que le 1er nombre du tableau est le "1er nombre réel strictement positif" !
Au moins tu viens de mettre le doigt sur une incompréhension de la démo et on va pouvoir avancer ^^.

Reprenons au début :
Supposons que les nombres réels de l'intervalle ]0,1[ soient dénombrables et raisonnons par l'absurde (la démonstration de Cantor n'est pas une preuve par l'absurde, et donc dans un certain sens "meilleure", mais je trouve le raisonnement par l'absurde plus simple à saisir)

puisqu'ils sont dénombrables, alors il existe une bijection f : N -> ]0,1[ (par définition de la dénombrabilité).
On écrit alors dans un tableau les nombres f(0), f(1), f(2), f(3), etc... on crée alors un nouveau nombre qui n'est pas dans le tableau grace à la diagonale et on obtient la contradiction recherchée : si ce nombre n'est pas dans le tableau c'est qu'il n'a pas d'antécédent par f, mais par définition d'une bijection, tout élément de ]0,1[ doit avoir un antécédent ----> contradiction.

A noter que f(0) n'est pas "le 1er nombre réel strictement positif" dont on parlait tout à l'heure. En effet rien n'oblige à ce qu' une bijection soit croissante et en particulier que f(0) soit le plus petit des nombres.
par exemple, si on prend la fonction g : N -> N telle que pour tout nombre n, si n est pair g(n) = n +1 et si n est impair g(n) = n - 1. Alors la suite des images donne 1 0 3 2 5 4 ... g n'est pas croissante mais c'est bien une bijection.

D'ailleurs dans la même idée on a la chose curieuse suivante. Les nombres rationnels compris dans l'intervalle ]0,1[ sont dénombrables eux. Il existe donc une bijection h : N -> Q inter ]0,1[. Pourtant h(0) n'a rien de particulier et cela n'aurait aucun sens que de le décrire comme "le premier rationnel compris entre 0 et 1". En effet, cette bijection h existe mais en fait elle est loin d'être unique, un corollaire de la démonstration de l'existence d'une bijection avec N est qu'il y en a une infinité. Et il se trouve que dans ce cas particulier, aucune de ces bijections ne "sort du lot", il n'y en a pas une qui soit plus naturelle que les autres à laquelle on pourrait se référer, elle sont toutes aussi pourries les unes que les autres.
A contrario, l'ensemble des nombres pairs est aussi dénombrable, il existe donc une bijection entre cet ensemble et N. Puisqu'il existe une bijection avec N, il en existe aussi une infinité d'autres. Mais cette fois ci, il y en a une qui est spéciale car croissante et permet donc de dire "0 est le 1er des nombres pairs".

Pour résumer tout ça : attention à ne pas confondre "l'image de 0" et "le plus petit nombre ...", dans le cas général ils n'ont rien en commun.

moriss a écrit:

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer :
- soit comment x fait pour être un réel ;

Pour ça il faut d'abord comprendre la chose suivante : 0,98374987398...
n'est pas un nombre réel, ce n'est que la représentation d'un nombre réel.

Mais alors si 0,983474... n'est pas un nombre, c'est quoi ? Il suffit de se pencher sur la définition (restreinte à un réel de [0,1] ce qui est le cas dans la démonstration de Cantor):

définition :
Soit [latex](a_n)_{n>0}[/latex] une suite de nombres compris entre 0 et 9 compris.
Alors la série [latex]\sum_{n>0} a_n/10^n[/latex] est convergente.
Si x est la somme de cette série alors on appelle [latex]0,a_1 a_2 a_3...[/latex] l'écriture décimale de x

Avec cette définition, on peut démontrer les choses suivantes :
- tout nombre réel de [0,1[ admet une écriture décimale
- cette écriture n'est pas toujours unique (ce qui en fait une raison suffisante pour ne pas confondre nombre réel et sa représention)
- à toute écriture décimale est associé un unique réel de [0,1]

Ce dernier point vient immédiatement de la définition. Il est vrai qu'il y a un peu d'entourloupe là dedans, puisque cette définition contient elle-même une propriété que je n'ai pas démontré ici, à savoir que la série est convergente.
Le fait que x soit reel vient de cette phrase, donc si ces mots te parlent, il te reste à chercher à démontrer qu'elle converge bien (il suffit de borner le terme général par les termes d'une suite géométrique).
Si par contre ils te sont étrangers, il te reste à accepter l'argument d'autorité ou à potasser un cours sur les séries ^^.

Toujours est-il, pour revenir à Cantor, le nombre construit à partir de la diagonale est bien un nombre réel, par définition même de l'écriture décimale. Et soit dit en passant, je doute que la définition de la réprésentation décimale lui ai échappé :p.

A ma connaissance, l'utilisation de points de suspension pour écrire un nombre (qu'ils soient à la fin ou en plein milieu) n'a pas de définition permettant à un lecteur de savoir précisement de quoi on parle.
Les  points de suspension sont un abus de notation utilisé lorsqu'on ne veut/peut pas écrire qq chose. Leur signification est donc sujette à l'interprétation du lecteur.

Personnellement quand je lis 0,000...00001, je ne vois pas beaucoup d'ambiguité sur ces points de suspensions qui signifient surement "on rajoute pleins de 0".

Par contre j'ai bien l'impression que je ne lis pas le même nombre que celui dont tu voudrais parler. Quand je lis ton message précédent, les points de suspensions signifierais une infinité de 0 et ça, ça n'a clairement pas de sens.

Je te renvoies à mon message #131 où je donne une définition de l'écriture décimale. L'écriture décimale d'un réel, c'est une suite de chiffres. De deux choses l'une, ou bien le chiffre 1 apparait dans cette suite, auquel cas on peut en déterminer son rang (et donc les points de suspensions ont un nombre fini de 0). Ou bien le chiffre 1 n'apparait pas dans cette suite et la question de ne se pose plus alors.

Autre manière de voir, qui je pense colle plus à ton intuition (fausse) de l'existence d'un tel nombre.
Considérons la suite [latex]u_n = 10^{-n}[/latex] pour n>0
alors (u_n) correspond à la suite des nombres 0,1   0,01   0,001   0,0001 etc...
Si cette suite converge alors sa limite aura peut etre la légitimité pour être pensé comme une infinité de 0 suivi d'un 1.
Cette suite converge bien, mais sa limite est 0. Donc le seul nombre qui aurait la légitimité pour s'écrire 0,00...0001 avec une infinité de 0 serait 0. Attention, même si on pourrait s'amuser à lui donner un sens (qui reviendrait à poser 0,00...001 = 0) , cette écriture ne sera jamais un écriture décimale.

Je répond à la réponse de ThomasLRG à mon 1er post :
J'ai beaucoup apprécié ta réponse qui était claire et convaincante. Mais comme j'ai l'esprit de contradiction j'ai testé ta définition et quelques zones d'ombre semblent demeurer.
Cette définition des nombres décimaux est en fait une définition par élimination :
1) On les définit selon une suite qui ne fait pas intervenir i ; ils ne sont donc pas complexes a priori.
2) On montre que cette suite est convergente. En fait l'intérêt de la chose est de s'assurer que la suite ne diverge pas, c'est-à-dire ne "fonce" pas vers l'infini qui n'est pas réel. Les nombres décimaux ne sont donc pas égaux à l'infini.
3) On a éliminé les nombres complexes et les infinis, on ne connais pas d'autre nombre non réel à éliminer, donc on en conclue que les nombres décimaux sont réels. Il s'agit bien d'une démonstration par élimination.

Oui mais voilà, Cantor aurait-il créé malgré lui un contre-exemple ? Je m'explique.
1e explication :
NB : je vais dire "la suite de Cantor" au lieu de "la diagonale de Cantor", c'est plus pratique.
1) La suite de Cantor semble tendre vers un nombre réel.
2) Mais prolongée à l'infini, cette suite n'atteint jamais son point de convergence car, par définition, il y aura toujours un petit changement de décimale de dernière minute.
3) Donc la suite de Cantor n'est pas convergente.
4) Elle se comporte différemment des nombres décimaux, elle est donc d'une autre nature.

Alors, bien sûr, on peut se dire que cette suite est convergente à un infini supérieur à celui que j'imagine "d'instinct". Faisons cette hypothèse.
2e explication :
1) Il est très important de noter que la suite de Cantor se définit par une inégalité, et non par une égalité.
2) Prolongée indéfiniment, elle tend vers cette inégalité.
3) Soit x la valeur de la suite, et x' le point de convergence. x' est un nombre décimal qu'on peut donc supposer réel.
La suite tend vers x≠x' ; ce qui ne permet pas de conclure que x est réel.

Peut-on éclairer ma zone d'ombre ?

Réponse à Moriss :

moriss a écrit:

Cette définition des nombres décimaux est en fait une définition par élimination :

Attention au vocabulaire, puisque les réponses à tes questions se trouve justement dans les détails des définitions de ce dont on parle.
Notamment ici, je n'ai pas défini les nombres décimaux, ni les nombres réels d'ailleurs (un nombre décimal est un nombre qui admet un nombre fini de décimales non nulles, ce qui n'est pas le cas de tous les réels). J'ai défini "l'écriture décimale des nombres réels compris entre 0 et 1". Les nombres réels eux préexistent à leur écriture, avant de pouvoir les représenter il faut déjà les construire (ce qui au passage est bien plus difficile que la définition que j'ai donnée ^^)

1) On les définit selon une suite qui ne fait pas intervenir i ; ils ne sont donc pas complexes a priori.

Evidemment, l'écriture décimale telle que je l'ai donnée ne permet pas de représenter tous les nombres complexes, mais uniquement les nombres réels compris entre 0 et 1. Attention toutefois, tous les nombres réels sont des nombres complexes (l'inverse n'étant pas vrai). Donc de dire qu'il ne sont pas complexes est incorrect, j'imagine que tu voulais plutot dire que leur partie imaginaire est nulle, ce qui est vrai.

2) On montre que cette suite est convergente. En fait l'intérêt de la chose est de s'assurer que la suite ne diverge pas, c'est-à-dire ne "fonce" pas vers l'infini qui n'est pas réel. Les nombres décimaux ne sont donc pas égaux à l'infini.

Attention avec la convergence d'une suite, une suite qui diverge ne fonce pas nécessairement vers l'infini. Par exemple, la suite 0 1 0 1 0 1 ... diverge.
De plus la phrase "les nombres décimaux ne sont pas égaux à l'infini" n'a pas de sens et je ne vois pas ce que tu peux bien vouloir dire par là.

Pour l'anecdote, la notion de convergence d'une suite est si subtile que Cauchy, l'un des premiers à l'avoir formalisé, a fait une "erreur". En fait il a donné une définition de la convergence d'une suite qui est séduisante intuitivement mais qui ne remplie pas un role essentiel qu'on attend de la convergence, à savoir : une suite qui converge suivant la définition de Cauchy n'a pas forcément de limite ! Finalement on a adapté sa définition pour obtenir la version moderne qui n'a pas ce problème. Malgré cela, la convergence au sens de Cauchy est une notion très utile et permet notamment de construire les nombres réels à partir des rationnels.

3) On a éliminé les nombres complexes et les infinis, on ne connais pas d'autre nombre non réel à éliminer, donc on en conclue que les nombres décimaux sont réels. Il s'agit bien d'une démonstration par élimination.

Il n'est surtout pas question de dire que "on a trouvé un nombre, il n'est pas de type a, il n'est pas de type b donc il est de type c", surtout pas ! Et comme dit plus haut, je rappelle que l'écriture décimale
Lorsqu'on définit l'écriture décimale, on ne sort jamais du cadre restreint des nombres réels. On travaille avec une série dont les termes sont des nombres réels et si cette série converge, par définition de la convergence d'une série (en lien justement avec l' "erreur" de Cauchy), alors la somme est un nombre réel.
Encore une fois c'est une problème de définition.

2) Mais prolongée à l'infini, cette suite n'atteint jamais son point de convergence car, par définition, il y aura toujours un petit changement de décimale de dernière minute.

Une suite ne se "prolonge pas à l'infini", c'est un contresens. Par définition (désolé :p), une suite est un ensemble indexé par les entiers naturels. Même si le mot français peut faire penser à autre chose, une suite, c'est l'ensemble tout entier des valeurs de cette suite.
Ainsi, "prolonger une suite" n'a pas de sens. Au moment où on définit une suite, tous les éléments sont déjà défini, ils ne se découvrent pas les uns à la suite des autres.

En particulier, si je reprends la démonstration que j'avais entamée.
On avait f : N -> ]0,1[ une bijection.
On définit alors la suite [latex](a_n)_{n>=0}[/latex] par [latex]a_n= E( f(n) \cdot 10^{n+1}) mod 10[/latex] pour tout n >= 0 (E designant la partie entière)
Je te laisse vérifier que a_n correspond bien au chiffre sur la diagonale.
Alors le nombre correspondant à l'écriture décimale [latex]0,a_0 a_1 a_2...[/latex] et bien défini. Les pointillés sont trompeurs car ils semblent dire qu'on ne connait pas les chiffres suivants, ou alors qu'on les découvre au fur et à mesure qu'on écrit le nombre. Mais non, ils y sont tous, pas un de manque et cette écriture défini (d'après la définition que j'ai cité) un unique réel.

Comme je commence à bien appréhender l'infiniment petit tel qu'il est connu aujourd'hui, les 1000 entiers de 1 à 1000 divisés par 10^infini finissent tous à 0 sans distinction: 0.0000.....
J'aurais pris le premier milliard que ça n'aurai rien changé: tous à zéros.
Je vois, je vois...

MthS-MlndN a écrit:

La notion de paradoxe découle de celle de "sens commun".

Ce qui heurte le sens commun, c'est qu'une partie d'un ensemble compte "autant d'éléments" que l'ensemble lui-même. En revanche, le fait que [latex]f[/latex] soit une bijection entre [latex]\mathbb{N}[/latex] et [latex]\mathbb{A}[/latex] implique directement que les deux ont le même cardinal, par définition. Le cardinal n'est pas le nombre d'éléments.

Je trouve que cette question est un bon critère, filtre ou crible.
Tous ceux qui trouvent qu'elle est paradoxale ont une difficulté avec l'infini dénombrable et peuvent donc relire toutes les discussions sur ce sujet

Au fait, il y a eu une énigme (assez complète) sur l'Hotel de l'infini.

Ca ne me heurte pas, mais c'est un bon rappel.

Si ça ne tenait qu'à moi, je fermerais ce topic sur ces mots de bon sens

Tu as du mal lire
Les nombres premiers sont bien sûrs dénombrables comme les éléments de tout ensemble infini inclus dans N (il faut peut-être l'axiome du choix pour cela, pas sûr).
Tu as du lire qu'ils sont en nombre infini peut-être?

rivas a écrit:

Tu as du mal lire
Les nombres premiers sont bien sûrs dénombrables comme les éléments de tout ensemble infini inclus dans N (il faut peut-être l'axiome du choix pour cela, pas sûr).
Tu as du lire qu'ils sont en nombre infini peut-être?

Ce que j'ai lu (rapporté d'un autre forum):
"Godel en 1931 introduit un 3ème infini , celui des nombres premiers en appliquant Russell aux infinis de Cantor. Il montre que l'infini des nombres premiers, plus petit que celui des entiers naturels est indénombrable comme celui des réels, mais que c'est bien un infini différent car il n'y a pas "la même distance" entre P et N qu'entre N et R."

Mais bon, je n'ai pas vérifié l'exactitude de la retranscription.

A propos de mon dernier message :

Clydevil a écrit:

Ça je n'ai pas compris, ce ne serait pas que "personne n'a exhibé à ce jour de fonction explicite donnant rapidement le n-ieme nombre premier?".
Parce que bon sinon l'existence d'une bijection entre les entiers et les nombres premiers c'est trivial la fonction qui à n associe le n-ieme nombre premier.

En effet, c'est plutôt ce que je voulais dire. Mais comme tu dis, créer la bijection dont tu parles est tout à fait trivial. Du coup ma remarque n'avait rien à faire ici... Merci d'avoir corrigé