On déduit de l'énoncé que la somme des coefficients P(1) est impair et que P(0) = le coefficient de degré 0 est impair.

On en déduit que la somme des coefficients de degré > 0 est pair (pair + impair = impair)

Soit r un entier
Si r est pair : P(r) = a0 + X*(a1+a2X+....) = impair + pair = impair
Si r est impair : chacun des X^i est impair, multiplier par un nombre impair un entier ne change pas sa parité, donc P(r) est de même parité que P(0).

Conclusion : P(r) est impair pour tout entier r, donc P(r) ne s'annule jamais (zéro étant pair)

Merci pour ce petit exercice

Mathieu.

ça marche aussi pour :
"Montrez que si un polynôme P(x) à coefficients entiers prend des valeurs impaires en x=2012 et x=301559 alors l'équation P(x)=0 n'a pas de racines entières."


Merci de faire vivre les énigmes de maths.

Hey, en fait c'est facile.
[TeX]P[/latex] est de degré [latex]n[/latex], forcément, donc :

[latex]P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n[/TeX]
[latex]P(0)[/latex] impair implique que [latex]a_0[/latex] est impair, et [latex]P(1)[/latex] impair implique que [latex]\sum_{i=0}^n a_i[/latex] est impair.

Maintenant, soit [latex]x[/latex] un entier.

* si [latex]x[/latex] est pair, alors toutes ses puissances sont paires, et comme [latex]a_0[/latex] est impair, [latex]P(x)[/latex] est impair.

* si [latex]x[/latex] est impair, alors toutes ses puissances (entières positives) sont impaires, alors [latex]a_i x^i[/latex] est de la même parité qu'[latex]a_i[/latex] pour tout [latex]i[/latex] entier positif ; donc [latex]P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i[/latex] est de la même parité que [latex]\sum_{i=0}^n a_i[/latex] : impair.

Donc, si [latex]P(0)[/latex] et [latex]P(1)[/latex] sont impairs, alors [latex]P(x)[/latex] est impair pour tout entier, et aucune racine de P n'est entière.

shadock a écrit:

Certain trouvant le forum mathématiques un peu mort

A force que tout le monde le trouve mort, c'est le plus actif en ce moment

shadock a écrit:

j'attends Mathias

Ayé.

MthS-MlndN a écrit:

Hey, en fait c'est facile.

Bah ouii c'est un ami qui m'a affirmé la faisabilité de la chose en TS option maths j'ai cherché une bonne heure

J'ai décidé que toutes les dizaines supplémentaires la difficulté redeviendrai à 1/10 et à "Maths pour les nuls 19" bah le summum de la difficulté rien que pour toi

Shadock

L'affaire se résout par parité (demo on demand)

Une solution entière paire est contredite par p(0) impair.
Une solution entière impaire est contredite par p(1) impair.

Les grands talents du forum l'auront détaillé.

Si P(0) est impair, alors le terme constant est impair.
Si P(1) est impair, alors la somme des coefficients est paire.
Vu que la somme des coefficients est paire, alors pour tout entier, la somme des termes hors constante est paire. Si on ajoute la constante, elle devient impaire et diffère donc toujours de zéro.

C'est étonnant tout le monde à le même raisonnement pour le moment ! Et tout le monde a juste.

Shadock

pierreM a écrit:

(j'arrive pas à croire que j'ai passé autant de temps à trouver ca!!!)

Ce n'est pas grave tu as trouvé c'est le plus important !

Shadock

Allez un petit indice pour ceux qui cherchent encore !

Spoiler : indice P(x)=a0+a1x+a2*x²+...+an*x^n et P(0) et P(1) sont impairs 

Bonjour,
J'ai bien une solution, mais qui ne me satisfait pas complètement, que voici:
P(x) = an.x^n + a(n-1).x^(n-1) + ... + a3.x³ + a2.x² + a1.x + a0
P(0) est impaire implique que a0 est impaire.
P(1) est impaire implique que: an + a(n-1) + ... + a3 + a2 + a1 + a0 est impaire et donc que an + a(n-1) + ... + a3 + a2 + a1 est paire.
On peut aussi écrire différemment P(x):
P(x) = x.[an.x^(n-1) + a(n-1).x^(n-2) + ... + a3.x² + a2.x + a1] + a0
Le premier terme est toujours paire: en effet, soit x est paire, et c'est évident, soit x est impaire, et alors tous les termes (x^i)-1 sont paires, et comme la somme des ai est paire (ce qui me "reste"), au final le terme entre crochets sera paire.
On en déduit que, pour tout x entier, P(x) est toujours impaire et ne peut donc jamais s'annuler.
Bonne journée.

Je me suis un peu compliqué la vie pour rien.
Voici une solution similaire, mais plus simple:
1°) x est pair, alors:
P(x) = x.Q(x) + P(0) est forcément impair.
2°) x est impair, alors:
P(x) = Somme[ai.(x^i - 1)] + P(1) est encore
impair puisque les termes (x^i - 1) sont tous
pairs.
Conclusion: P(x) est toujours impair (quelque
soit la parité de x).
Conséquence: P(x) ne s'annule jamais (pour
tout x entier bien sûr).
A+

Bravo, à tous, comme quoi même les problèmes que certains trouve bateau peuvent donner du fil à retordre à certain.

A bientôt pour la suivant, j'espère un peu plus congrue

Shadock