Bonsoir,

(a) $racine(x-a) - racine(x+a) = 1$
On retient que x >= a et x >= -a. Puis on multiplie par $racine(x-a) + racine(x+a)$ :
(b) $(x-a) - (x+a) = racine(x-a) + racine(x+a)$
On additionne (a) + (b) :
(c) $-racine(x+a) -2a = 1 + racine(x+a)$
(d) $2 racine(x+a) = -2a - 1$
On note que a <= -1/2, puis on élève au carré :
(e) $x+a = (-a-1/2)^2$
On en conclut que :
(f) $x = a^2 +1/4$ (avec les conditions sur a <= -1/2)

Klim.

Je trouve un truc bizarre: x = a² +1/4, à la condition que a soit inférieur ou égal à -1/2. Si a est supérieur à 1/2, alors le membre de gauche vaut -1.

Klimrod a écrit:

Bonsoir,

(a) $racine(x-a) - racine(x+a) = 1$
On retient que x >= a et x >= -a. Puis on multiplie par $racine(x-a) + racine(x+a)$ :
(b) $(x-a) - (x+a) = racine(x-a) + racine(x+a)$
On additionne (a) + (b) :
(c) $-racine(x+a) -2a = 1 + racine(x+a)$
(d) $2 racine(x+a) = -2a - 1$
On note que a <= -1/2, puis on élève au carré :
(e) $x+a = (-a-1/2)^2$
On en conclut que :
(f) $x = a^2 +1/4$ (avec les conditions sur a <= -1/2)

Klim.

On additionne (a) + (b) :
(c) 2racine(x-a)  = -2a + 1
(d) racine(x-a) = -a + 1/2
(e) x-a = (-a+1/2)^2
On en conclut que :
(f) x = a^2 +1/4

C'est sur le point (f) que je vais râler.

Il ne faut pas respecter $x \ge 0$ mais $x \ge a$ (pour l'existence des racines carrées de l'énoncé), d'une part.

Ensuite, $x \ge a \Leftrightarrow \left( a² + \frac{1}{4} \right) \ge a \Leftrightarrow \left( a - \frac{1}{2} \right)^2 \ge 0$

Respecté pour tout a.

Mais ce qu'a énoncé Nombrilist

Nombrilist a écrit:

Je trouve un truc bizarre: x = a² +1/4, à la condition que a soit inférieur ou égal à -1/2. Si a est supérieur à 1/2, alors le membre de gauche vaut -1.

est toujours valide, donc infirme ce que nous avons fait...

Bof ! Il suffit de remplacer a par -a et cela marche.
En fait il faut garder à l'oeil que V(x²)=|x| (et pas x).
Et donc, si x<O, alors V(x²)=-x.

Klimrod a écrit:

Dans l'énoncé initial il faut que a ≤ -1/2.

Comment arrive-t-on à cette condition ?
(Et laisse tomber cette histoire d'honneur, ça fait longtemps que je n'en ai plus )

MthS-MlndN a écrit:

Comment arrive-t-on à cette condition $a \leq -\frac 12$ ?

Je reprends le raisonnement de Klimrod, en le trafiquant un peu :

(a) $\sqrt{x-a} - \sqrt{x+a} = 1$

Notons que l'équation n'a de sens que pour $x \geq a$ et $x \geq -a$.

On multiplie l'équation par $1 + \sqrt{x-a} + \sqrt{x+a}$ et l'on obtient après simplification :

(d) $\sqrt{x+a} = -a - 1/2$

Notons qu'une condition nécessaire pour avoir une solution est $-a -1/2 \geq 0$, c'est-à-dire $a \leq -1/2$.

Puis on élève au carré :

(e) $x+a = (-a-1/2)^2$

On en conclut que :

(f) $x = a^2 +1/4$

On vérifie que dans ce cas, l'on a bien $x \geq a$ et $x \geq -a$.

Ce qu'il faut voir, c'est que ce raisonnement ne peut se remonter comme ça, toutes les étapes ne sont pas équivalentes :

Certes (a) $\Leftrightarrow$ (d) et (e) $\Leftrightarrow$ (f) sans problème.

Cependant (e) $\Rightarrow$ (d) seulement si $-a -1/2 \geq 0$, c'est-à-dire si $a \leq -1/2$.

En effet, $A^2=B^2 \Rightarrow A=B$ seulement si $A$ et $B$ sont de mêmes signes.

On voit donc que pour $a \leq -1/2$, on a une unique solution qui est $x = a^2 +1/4$.
Et dans le cas où $a > -1/2$, il n'y a pas de solution.

En effet