Bonsoir,

(a) [latex]racine(x-a) - racine(x+a) = 1[/latex]
On retient que x >= a et x >= -a. Puis on multiplie par [latex]racine(x-a) + racine(x+a)[/latex] :
(b) [latex](x-a) - (x+a) = racine(x-a) + racine(x+a)[/latex]
On additionne (a) + (b) :
(c) [latex]-racine(x+a) -2a = 1 + racine(x+a)[/latex]
(d) [latex]2 racine(x+a) = -2a - 1[/latex]
On note que a <= -1/2, puis on élève au carré :
(e) [latex]x+a = (-a-1/2)^2[/latex]
On en conclut que :
(f) [latex]x = a^2 +1/4[/latex] (avec les conditions sur a <= -1/2)

Klim.

Je trouve un truc bizarre: x = a² +1/4, à la condition que a soit inférieur ou égal à -1/2. Si a est supérieur à 1/2, alors le membre de gauche vaut -1.

Klimrod a écrit:

Bonsoir,

(a) [latex]racine(x-a) - racine(x+a) = 1[/latex]
On retient que x >= a et x >= -a. Puis on multiplie par [latex]racine(x-a) + racine(x+a)[/latex] :
(b) [latex](x-a) - (x+a) = racine(x-a) + racine(x+a)[/latex]
On additionne (a) + (b) :
(c) [latex]-racine(x+a) -2a = 1 + racine(x+a)[/latex]
(d) [latex]2 racine(x+a) = -2a - 1[/latex]
On note que a <= -1/2, puis on élève au carré :
(e) [latex]x+a = (-a-1/2)^2[/latex]
On en conclut que :
(f) [latex]x = a^2 +1/4[/latex] (avec les conditions sur a <= -1/2)

Klim.

On additionne (a) + (b) :
(c) 2racine(x-a)  = -2a + 1
(d) racine(x-a) = -a + 1/2
(e) x-a = (-a+1/2)^2
On en conclut que :
(f) x = a^2 +1/4

C'est sur le point (f) que je vais râler.

Il ne faut pas respecter [latex]x \ge 0[/latex] mais [latex]x \ge a[/latex] (pour l'existence des racines carrées de l'énoncé), d'une part.

Ensuite, [latex]x \ge a \Leftrightarrow \left( a² + \frac{1}{4} \right) \ge a \Leftrightarrow \left( a - \frac{1}{2} \right)^2 \ge 0[/latex]

Respecté pour tout a.

Mais ce qu'a énoncé Nombrilist

Nombrilist a écrit:

Je trouve un truc bizarre: x = a² +1/4, à la condition que a soit inférieur ou égal à -1/2. Si a est supérieur à 1/2, alors le membre de gauche vaut -1.

est toujours valide, donc infirme ce que nous avons fait...

Bof ! Il suffit de remplacer a par -a et cela marche.
En fait il faut garder à l'oeil que V(x²)=|x| (et pas x).
Et donc, si x<O, alors V(x²)=-x.

Klimrod a écrit:

Dans l'énoncé initial il faut que a ≤ -1/2.

Comment arrive-t-on à cette condition ?
(Et laisse tomber cette histoire d'honneur, ça fait longtemps que je n'en ai plus )

MthS-MlndN a écrit:

Comment arrive-t-on à cette condition [latex]a \leq -\frac 12[/latex] ?

Je reprends le raisonnement de Klimrod, en le trafiquant un peu :

(a) [latex]\sqrt{x-a} - \sqrt{x+a} = 1[/latex]

Notons que l'équation n'a de sens que pour [latex]x \geq a[/latex] et [latex]x \geq -a[/latex].

On multiplie l'équation par [latex]1 + \sqrt{x-a} + \sqrt{x+a}[/latex] et l'on obtient après simplification :

(d) [latex]\sqrt{x+a} = -a - 1/2[/latex]

Notons qu'une condition nécessaire pour avoir une solution est [latex]-a -1/2 \geq 0[/latex], c'est-à-dire [latex]a \leq -1/2[/latex].

Puis on élève au carré :

(e) [latex]x+a = (-a-1/2)^2[/latex]

On en conclut que :

(f) [latex]x = a^2 +1/4[/latex]

On vérifie que dans ce cas, l'on a bien [latex]x \geq a[/latex] et [latex]x \geq -a[/latex].

Ce qu'il faut voir, c'est que ce raisonnement ne peut se remonter comme ça, toutes les étapes ne sont pas équivalentes :

Certes (a) [latex]\Leftrightarrow[/latex] (d) et (e) [latex]\Leftrightarrow[/latex] (f) sans problème.

Cependant (e) [latex]\Rightarrow[/latex] (d) seulement si [latex]-a -1/2 \geq 0[/latex], c'est-à-dire si [latex]a \leq -1/2[/latex].

En effet, [latex]A^2=B^2 \Rightarrow A=B[/latex] seulement si [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] sont de mêmes signes.

On voit donc que pour [latex]a \leq -1/2[/latex], on a une unique solution qui est [latex]x = a^2 +1/4[/latex].
Et dans le cas où [latex]a > -1/2[/latex], il n'y a pas de solution.

En effet