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#1 - 29-03-2013 17:36:21
- titoufred
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Combien de lancers de dé avant de.... ?
1) En moyenne, combien de fois faut-il lancer un dé pour obtenir un 6 ?
2) En moyenne, combien de fois faut-il lancer un dé pour obtenir 2 fois 6 d'affilée ?
3) En moyenne, combien de fois faut-il lancer un dé pour obtenir n fois 6 d'affilée ?
#2 - 29-03-2013 17:45:04
- Spirou
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Combien de laners de dé avant de... ?
1) 6 fois. 2) 72 fois? ![hmm](img/smilies/hmm.png)
#3 - 29-03-2013 19:25:16
- SabanSuresh
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Combien de lancrs de dé avant de... ?
On peut pas établir une moyenne car cela dépend du hasard, des circonstances ... Du moins, c'est ce que je crois.
#4 - 29-03-2013 19:33:24
- titoufred
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Combien de lancers de dé avant e... ?
@Spirou : 1) oui. une idée de pourquoi c'est le cas ? 2) non.
@SabanSuresh : en langage mathématique, c'est ce qu'on appelle une espérance mathématique.
#5 - 29-03-2013 19:42:25
- Spirou
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Combien de lancers d edé avant de... ?
1) le de a 6 faces dont sur chaqu'une il y a un autre chiffre. Il y a donc une chance sur 6 de tomber sur 6. Il faut le lancer en moyenne 6 fois. 2) Il y a une chance sur 6 de tomber sur 6. Donc pour en avoir 2 d'affile , il faut 6*6 soit 36 lancer. ![hmm](img/smilies/hmm.png)
#6 - 29-03-2013 20:14:02
- SabanSuresh
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Combien de lancers de dé avat de... ?
Ok donc : 1) 6 lancers 2) 6² = 36 lancers 3) 6^n lancers
Voilà et j'espère que j'ai bon.
#7 - 30-03-2013 00:09:12
- titoufred
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Combieen de lancers de dé avant de... ?
@Spirou : 1) c'est un début d'explication. 2) non
@Saban : 1) oui, pourquoi ? 2) & 3) non
#8 - 30-03-2013 10:08:21
- godisdead
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Combien de lancers de dé avatn de... ?
1) Je reformule la question en : à partir de combien de jet de dé, la probabilité d'avoir un 6 est supérieur à 0,5 je dirais 4 fois.
Pour les autres questions, je ne vois pas le modèle mathématique à utiliser.
#9 - 30-03-2013 10:31:28
- SabanSuresh
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combien de lancers de sé avant de... ?
a) Je dis 6 car c'est le nombre de possibilités d'avoir une combinaison différente en un coup. b) et c) Je trouve pas ...
#10 - 30-03-2013 14:25:53
combirn de lancers de dé avant de... ?
1) 1 chance sur 6 donc 6 lancés 2) 1 chance sur 6 x 1 chance sur 6 = 1/6x1/6 =1/36= 36 lancés 3) pour 1 lancé il faut 6 coup, pour 2(d'affilé) il en faut 36 (soit 6x6) pour n d'affilé il en faut 6^n lancés, par exemple pour avoir 3 "6" d'affilé il faudra 6^3=216 lancé en moyenne
#11 - 30-03-2013 22:18:45
- golgot59
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Combiien de lancers de dé avant de... ?
1 chance sur 6 de faire un 6.
Donc 5/6 de ne pas en faire un.
Après 2 lancers, (5/6)*(5/6) de ne pas faire de 6
Après n lancers, (5/6)^n de ne pas faire de 6.
On s'intéresse au moment où (5/6)^n=1/2 c'est à dire n(ln5-ln6)=ln1-ln2, soit : n=ln2/(ln6-ln5)=3.8 environ
Pour deux 6 d'affilée, je réfléchi...
#12 - 30-03-2013 23:48:06
- golgot59
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ombien de lancers de dé avant de... ?
Pfff, j'aurai dû m'en douter, venant de toi Titou, ça ne pouvait être que compliqué ![wink](img/smilies/wink.png)
Pour deux 6 d'affilé, voilà comment j'ai procédé : j'ai commencé par réfléchir sur 1 seul 6.
La certitude de faire un 6 après n lancés se décompose par : 1/6 après le 1er lancer 5/6*1/6 pour le 2ème lancer, car il faut ne pas avoir fait un 6 au 1er. 5/6*5/6*1/6 pour le 3ème lancer, etc.
Donc après n lancers, la probabilité de faire un seul 6 (puisqu'on ne s'intéresse qu'au premier) est de 1/6+5/6²+5²/6^3+5^3/6^4+...
En appliquant, on trouve bien qu'après 3 lancers la probabilité n'est que de 91/216=0.421 environ, donc pas assez Après 4 lancers : 671/1296=0.533 Bingo.
Pour deux 6 d'affilé, c'est beaucoup plus compliqué !
Après 2 lancers, il faut deux 6 donc 1/36 Après 3 lancers, il faut "raté" le 1er lancer, donc 5/6*1/6*1/6=5/216 Après 4 lancers, il faut soit rater les 2 premiers, soit réussir le premier mais rater le 2ème : xx66 6x66, donc 5/6*5/6*1/6*1/6 + 1/6*5*6*1/6*1/6 = 30/6^4
Après 5 lancers, au choix : xxx66 x6x66 6xx66 Ce qui donne (5^3+5^2+5^2)/6^5
Après 6 lancers : xxxx66 xx6x66 x6xx66 6xxx66 6x6x66 Ce qui donne : (5^4+3*5^3+5^2)/6^6
Petit point sur ce que ça donne après 6 lancers, on ajoute tout ça et on obtient à peine 0.119, on est évidemment loin du compte.
7 lancers : xxxxx66 xxx6x66 xx6xx66 x6xxx66 6xxxx66 x6x6x66 6xx6x66 6x6xx66
8 lancers : xxxxxx66 xxxx6x66 xxx6xx66 xx6xxx66 x6xxxx66 6xxxxx66 xx6x6x66 x6xx6x66 6xxx6x66 x6x6xx66 6xx6xx66 6x6xxx66 6x6x6x66
Et je ne vois pas de moyen de résumer tout ça par une formule qui va bien. Je vais continuer de chercher... ![roll](img/smilies/roll.png)
#13 - 31-03-2013 11:24:01
- ksavier
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Combien de lancers de déé avant de... ?
Je dirais [latex]\frac{2\times6^n+1}{3}[/latex] lancés en moyenne pour obtenir [latex]n[/latex] six.
Soit environ 4 lancés pour pour un l'obtention d'un six, et environ 24 lancés pour obtenir deux six. ( cela ne me paraît pas grossièrement faux, on doit s'attendre à trouver moins de [latex]6^n[/latex] lancés qui donnent en moyenne [latex]n[/latex] six avec certitude)
#14 - 31-03-2013 21:09:08
- titoufred
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combien de lancers de dé avant dz... ?
@godisdead & golgot59 : il ne faut pas confondre le nombre de coups moyen avant d'obtenir un 6 avec le nombre de coups à partir duquel la probabilité d'avoir un 6 est supérieure à 0,5. Je vous invite à faire une recherche sur ce qu'est l'espérance mathématique d'une variable aléatoire.
@ksavier : ce n'est pas la bonne formule.
#15 - 31-03-2013 23:11:51
- franck9525
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combien de lancers de fé avant de... ?
question 1/ 1-(5/6)^k proche de 50% donne k=4 fois
question 2/ Les chances d'avoir deux 6 de suite sont de 1/36 En moyenne il faut donc 1-(35/36)^k proche de 50% soit (35/36)^k=1/2 soit k =log2/(-log35+log36) =24.6 donc 25 fois
question 3/ n fois de suite un 6? k=log2/(nlog6-log(6n-1))
The proof of the pudding is in the eating.
#16 - 01-04-2013 01:01:15
- titoufred
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combien de lancers de dé avant fe... ?
@franck : même remarque qu'au-dessus: ce que l'on veut calculer c'est l'esperance mathématique E(X) d'une certaine variable aléatoire X. Pour la question 1, X est le nombre de lancers jusqu'à l'apparition d'un 6. E(X) est donné par la somme des [latex]n \times p(X=n)[/latex].
#17 - 01-04-2013 11:49:21
- ksavier
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Combien de alncers de dé avant de... ?
En moyenne, 6 lancers pour obtenir un 6. En moyenne, 42 lancers pour obtenir deux 6 à la suite. En moyenne, [latex]\frac{6}{5}(6^n-1)[/latex] lancers pour obtenir [latex]n[/latex] six à la suite.
#18 - 01-04-2013 18:03:35
- titoufred
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Combien de lancers de dé avnat de... ?
Oui bravo ksavier !
Tu sais pourquoi ?
#19 - 01-04-2013 19:43:40
- MthS-MlndN
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Combien e lancers de dé avant de... ?
titoufred a écrit:Tu sais pourquoi ?
Non, il a répondu au pif ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#20 - 01-04-2013 20:07:59
- titoufred
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Combien de lancers de dé vaant de... ?
![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
Le sens de ma question était de savoir si c'était juste une conjecture ou s'il avait la démonstration.
Pour démontrer le 1), il y a pas mal de façons de voir et c'est déjà assez intéressant je trouve. Je vous propose de vous essayer à démontrer le 1) pour l'instant.
#21 - 01-04-2013 21:05:58
- ksavier
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Combien de lancers de d avant de... ?
#22 - 01-04-2013 21:38:38
- titoufred
- Elite de Prise2Tete
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Combien de lnacers de dé avant de... ?
Joli !
Tu as fait une démonstration complètement différente de la mienne. Je ne sais pas si on peut l'étendre facilement au cas n quelconque avec l'inversion de la matrice M-Id ? En tout cas, bravo !
#23 - 01-04-2013 22:04:36
- titoufred
- Elite de Prise2Tete
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Combien de lancers de ddé avant de... ?
Une petite remarque au passage sur un truc que j'ai trouvé assez rigolo :
Lorsqu'on lance un dé deux fois de suite, la probabilité de faire 6 puis 5, est de 1/36, et l'on montre assez facilement que le nombre moyen de lancers avant de faire 6 puis 5 est de 36 lancers.
Cependant, si la probabilité de faire 6 puis 6 est également de 1/36, le nombre moyen de lancers avant de faire 6 puis 6 est, comme ksavier vient de le démontrer, de 42 lancers.
Cela m'a quelque peu déconcerté pendant un temps...
#24 - 01-04-2013 22:34:21
- gwen27
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Combien de lancers de dé avat de... ?
Je trouve ça surprenant : On devrait obtenir 6 puis 6 plus facilement que 6 puis 5 vu qu'on oublie l'ordre .
et l'on montre assez facilement
J'adore ce genre de sésame ![lol](img/smilies/lol.png) Tu es sûr de toi ?
#25 - 01-04-2013 22:47:12
- titoufred
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combien de lancers de dé avanr de... ?
Hihi, oui c'est assez surprenant au départ, mais en réfléchissant un peu, on voit pourquoi "66" va être plus long à venir que "65".
Pour ce qui est de la démonstration que "65" arrive en moyenne au bout de 36 lancers, c'est en cherchant une démonstration pour le 1) que j'ai trouvé une façon simple de voir les choses, qui peut aisément se généraliser.
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