avec d, le nombre de diagonales, c le nb de cotes, et s de sommets
c=s!            ;
d=10c         ;  la question
d=c(c-3)/2   ;  le nombre de diagonales distinctes
c=23          ; la réponse

Alors... Je pense qu'on peut dénombrer le nombre total de diagonales d'un polygone à N sommets de la façon suivante : chaque sommet peut être relié à N-3 autres pour former une diagonale (on enlève le sommet lui-même, et les deux sommets voisins sur le polygone). On multiplie par N, car il y a N sommets, et on divise par 2 vu qu'on a compté chaque diagonale deux fois.

Nombre total de diagonales : $\frac{N(N-3)}{2}$

On doit donc avoir $\frac{N(N-3)}{2} = 10 N$ soit $\frac{N-3}{2} = 10$ donc notre polygone a 23 sommets.

Oh non, pas encore !

Nombre de cotés - nombre de diagonles:
3 - 0
4 - 2
5 - 5
6 - 9
7 - 14
8 - 20
9 - 27
10 - 35
11 - 44
12 - 54
13 - 65
14 - 77
15 - 90
16 - 104
17 - 119
18 - 135
19 - 152
20 - 170
21 - 189
22 - 209
23 - 230
La réponse est donc 23.
C'est cette serie sur OEIS

Appelons n le nombre de sommets (et de côtés) du polygone en question.
Une diagonale est entièrement déterminée par ses 2 extrémités.
Il y a $C^2_n$ façons de choisir 2 points parmi n (les n sommets).
Il y a donc $C^2_n-n$ diagonales (il faut exclure les arêtes qui sont comptées dans ce calcul).

D'après l'énoncé, on a donc $C^2_n-n=10n \Leftrightarrow \dfrac{n(n-1)}{2}=11n \Leftrightarrow n=23$

Ce qui est validé par la case réponse.

Merci pour ce petit problème original.

n(n-3)/2 = d (nombre de diagonales)
ici d=10n
n(n-3)/2 = 10n
n(n-3) = 20n
n²-3n-20n=0
n(n-23)=0

n=23

soit n le nombre de côtés et le nombre de sommets (car ils sont égaux)
On a donc affaire à un arrangement de n sommets pris deux à deux
soit n!/2!(n-2)!
cad n(n-1)/2.
dans ce nombre est compris le nombre de côtés, il faut donc l'enlever
NBdiag = n(n-1)/2 - n
Comme NBdiag= 10n (hypothèse)

n(n-1)/2 - n = 10n
n² -23n = 0

n=23 . C'est donc un polygone à 23 côtés et 230 diagonales

Soit d(n) le nombre de diagonales d'un polygone convexe de n côtés.

On a :
d(4)=2
d(5)=2+3
d(6)=2+3+4
d(n)=2+3+4 +... +(n-2)

C'est une série arithmétique, de somme [2+(n-2)]/2.(n-3) =n(n-3)/2

Puisque on cherche n tel que d(n)=10n => (n-3)/2=10 => n=23


http://fr.wikipedia.org/wiki/Triaicosagone



bon, maintenant, je vais regarder vos réponses