SabanSuresh:on cherche ton choix en fonction du choix du chat.
Exemple: si le chat choisit PPP que choisis tu?

Si le chat choisi ABC
Je choisi XAB
X étant pile ou face soit au hasard, soit forcé par AB = BC

si le chat choisi PPP
je choisi FPP car si je prends PPP, j'ai la même chose que le chat.
Par contre, s'il choisi FPF
Je peux choisir indifférement FFP ou PFP

L'objectif étant que pour une série XFPF, je gagne une fois sur 2 avant lui en ajoutant toutes les fois ou je gagne de manière naturelle.

Tu as raison, il doit y avoir un léger avantage à prendre l'inverse de C comme première possibilité. (si c'est possible)

Pour le quantifier, je ne suis malheureusement pas un bon mathématicien, pour ce genre d'exercice, je me fie à ma logique et mon instinct, les mathématiciens donneront l'espérance de gain !

Contre PPP, je choisirais FPP
Contre FPF, je choisirais PFP

J'ai trouvé sur le web un dossier très bien fait et agréable à lire : le voilà.

Pour trouver la combinaison qui offre la plus grande probabilité de gagner est celle qu'on trouve en utilisant le procédé de Mark Andrew : On prend le deuxième élément de la série du premier joueur qu'on inverse (P devient F et F devient P). Puis on rajoute la suite du premier joueur sans le dernier élément après l'élément inversé. Ce n'est pas très visible sur les combinaisons à 3 éléments mais bon. Voilà ce que ça donne et les probabilités c'est grâce à l'algorithme magique de Conway (tout est dans l'article) :

Chat : PPP → Souris : FPP → La souris a 7 chances sur 8 de gagner.
Chat : PPF → Souris : FPP → La souris a 3 chances sur 4 de gagner.
Chat : PFP → Souris : PPF → La souris a 2 chances sur 3 de gagner.
Chat : PFF → Souris : PPF → La souris a 2 chances sur 3 de gagner.
Chat : FFF → Souris : PFF → La souris a 7 chances sur 8 de gagner.
Chat : FFP → Souris : PFF → La souris a 3 chances sur 4 de gagner.
Chat : FPF → Souris : FFP → La souris a 2 chances sur 3 de gagner.
Chat : FPP → Souris : FFP → La souris a 2 chances sur 3 de gagner.

J'ai tout pigé et en plus, on est en train de faire les probas en classe. L'avantage est d'avoir plus d'issues favorables que l'adversaire et donc de le bloquer un tour ou deux par exemple pour FPP et FFP. Imaginons, on obtient deux F consécutifs nous sommes dans une bien meilleure position que lui. Et à chaque fois, il n'a qu'une chance sur 8, sur 4 ou sur 3 d'avoir une issue favorable.

Intuitivement je dirais que si chat dit [latex]ABC[/latex] alors je dirais [latex]\bar CAB[/latex].

Par exemple sur PPP je choisis FPP.

Car si le tirage [latex]AB[/latex] est sortie :
  -Si [latex]C[/latex] sort alors je n'y peux rien.
  -Mais si [latex]\bar C[/latex] sort alors j'aurai un "cran" d'avance sur le chat,
et donc si les deux tirages suivant sont les tirages du chat alors j'aurais gagner
avant lui sinon on "retombe à zéro" tous les deux et nous sommes revenus au point
de départ.

Dans l'exemple chat: PPF et souris: PPP,
pour que le chat gagne il faut bien que les deux premiers lancés soit piles, et à partir de là j'ai 1/2 de gagner, non ?

Je vais commencer par un cas particulier : le chat parie PPP.
Dans ce cas, la souris va parier FPP.

Soit les 3 premiers lancers donnent PPP (1 chance sur 8)  et le chat gagne, soit la première série PPP qui va apparaître sera précédée d'un F et donc la souris gagne (7 chance sur 8).
remarque : la probabilité de chaque combinaison n'est pas nulle, donc il y a toujours un vainqueur.

Intuition à développer :
Dans les autres cas (où le chat ne joue pas une série de 3 identiques) : on reprenant le même principe, la souris va jouer une série se terminant par les 2 premiers termes de la série du chat. On intuite que la souris va ainsi augmenter ses chances de gagner juste avant le chat.
Si on laisse de coté les 3 premiers coups (1/8 de gagner pour le chat), on voit que la première combinaison gagnante du chat a 1/2 d'être juste précédée d'une série gagnant de la souris. Mais dans les 1/2 autres cas, la souris a également pu gagner bien avant : le chat gagne dans 1/8 de façon certaine, perd dans 5/8*1/2=5/16 de façon certaine et les 9/16 autres possibilités ne sont pas déterminés...

Nous devons passer en détail chaque combinaison pour définir le coup à jouer pour la souris et ses chances de gains (et vérifier notre intuition) :

Si le chat joue PFP, la souris va jouer PFP ou PPF (en reprenant l'idée intuitivede terminer sa série avec les 2 derniers termes), ou toute autre combinaison .

Si elle joue PFP, par symétrie les 2 bestioles ont les mêmes chances de gagner.

Si elle joue PPF, il faut étudier un peu ce qui va se passer :
après 2 lancers, il y a 4 possibilités équiprobables : PF, PP, FP, FF, notons E(PF) la probabilité que la souris gagne si les 2 premiers lancers sont PF.
Après PF, il sort soit P et le chat gagne, soit F et personne n'a encore gagné mais les chance devienne celle correspondant à 2 premier lancer FF.
On peut donc écrire : E(PF)= 1/2 * 0 + 1/2 E(FF)
De même : E(PP)=1/2 + 1/2 E(PP)
Et aussi : E(FP)=1/2 E(PP) + 1/2 E(PF)
Enfin : E(FF) = 1/2 E(FP) + 1/2 E(FF)
On résout le système pour finalement trouver
E(PP)=1, E(FF)=E(FP)=2/3 et E(PF)=1/3.

Les chances de gagner de la souris sont donc : E=1/4 (1+2/3+2/3+1/3)=2/3.

Les chances de gains (2/3) sont supérieurs à 1/2 donc la souris a intérêt à choisir PPF au lieu de PFP et peut jouer avec une relative confiance. Nous n'avons pas démontré que c'était le meilleur choix, même si notre intuition nous le susurre... Je vous passe les calculs des 4 chances à chaque fois :

Si elle joue FFF, on trouve E=1/2
Si elle joue PFF, on trouve E=1/2
Si elle joue FPP,  on trouve E=1/2
Si elle joue PPP, on trouve E=2/5
Si elle joue FFP, on trouve E=1/2

Si elle joue PFP, elle se fait tirer les oreilles par Prince car elle n'a pas le droit de dire comme le chat !

Au final, pour PFP du chat, c'est bien PPF le meilleur pari de la souris avec 2/3 chances de gains !

Si le chat joue PPF, (je prends ce coup car c'était le meilleur coup pour la souris précédemment).
Nous savons que PFP fera gagner la souris seulement une fois sur 3 (cas précédent en inversant les rôles). D'après notre intuition PPP ou FPP seraient les meilleurs paris à faire.

Si elle joue PPP,  on trouve E=1/2
Si elle joue FPP, on trouve E=3/4 : la souris a intérêt à jouer FPP
(afin de ne pas alourdir, je ne teste pas les autres possibilités).

Pour finir, si le chat joue FPP, d'après notre intuition, la souris doit jouer PFP ou FFP. Le premier cas a été vu précédemment avec les rôles inversés et a montré que la souris gagne 1/2 fois.
Si la souris joue FFP, on calcule E=2/3

Par symétrie entre P et F on trouve les 4 autres pari du chat et les réponses intelligentes de la souris.

Merci pour ce problème simple à première vue, subtile ensuite et tellement "confusant" avec ces P et ces F qu'un MP m'a été nécessaire pour remettre tout ça dans l'ordre...merci.

On aurait pu dire A et B ou Walter et Herman.
C'est vrai,pourquoi un chat et une souris?

J'ai trouvé:"Donc tu prendrais un chat juste pour qu'il chasse les souris ? .... Mais c'est pile ou face avec les chats d'aujourd'hui, ou bien tu as un chasseur ou bien un paresseux ".

Chat, j'éviterais un aaa car si on rate le aaa de départ (7/8), et que souris choisit baa, je suis cuit.
Chat, j'éviterais aussi aab, car si on rate le début, et que souris choisit baa, je suis cuit.
Chat, j'éviterais aussi abb, car si souris choisit aab ou bab, je suis aussi battu.
Je choisirais donc bab, souris répondant en principe par aba, le match semble alors équilibré.
Pas trop le temps de calculer les probas respectives, mais ça doit pas être loin de la solution...
A vue de moustache...