Non, si un côté du triangle est bleu et les deux autres rouges.

Ou alors tu considères q'un côté de l'équerre peut suivre un côté du triangle ?

Le coloriage du bord est quelconque et les sommets de l’équerre peuvent se confondre avec ceux du gâteaux .

Vasimolo

Salut !

Peut-on aussi placer 2 sommets sur un même bord ? Si oui, la démo me semble plus simple...

Si je mets un coté en bleu et les deux autres en rouge, ça marche pas, si ?

Cherchons à empêcher le fait de pouvoir tracer un triangle rectangle inscrit dans le premier et avec 3 sommets de même couleur.

Il suffit de se concentrer sur un des angles du triangle.

Si le départ de l'angle est de la même couleur sur chaque côté, on peut aisément construire un triangle rectangle inscrit dont les 3 sommets sont de même couleur. Voir figure 1

Sinon, On suppose que le début d'un côté est d'une couleur, bleu dans la figure 2, alors l'autre doit démarrer par du rouge, mais il doit s'arrêter au droit du point où la couleur change sur le 1er côté, au risque de construire de nouveau un triangle rectangle inscrit dont les 3 sommets sont de même couleur.

Enfin, même si on s'arrête "à temps", alors on pourra quand même construire un triangle rectangle inscrit dont les 3 sommets sont de même couleur en s'appuyant cette fois sur le 2ème côté en démarrant juste après le changement de couleur. voir figure 3.

Conclusion : On pourra toujours construire un triangle rectangle inscrit dont les 3 sommets sont de même couleur.

@Golgot : le coloriage des côtés est fait point par point , on peut par exemple imaginer un coloriage tel que tout segment non réduit à un point contient des points de chaque couleur . La frontière bicolore du gâteau est l'unique hypothèse .

Vasimolo

Houuuu ! Ton pâtissier est drôlement minutieux !

@Gwen : ton raisonnement serait correct si le coloriage était réalisé en lignes continues mais mon pâtissier est un fervent adepte du pointillisme .

Vasimolo

Supposons qu'il y ait un enchaînement de "a" couleurs sur le côté horizontal du bas.

Alors à leur vertical, si on veut empêcher la création d'un triangle rectangle dont les sommets ont la même couleur, il faut que chaque couleur sur le côté au dessus correspondant (gauche ou droit) soit inversée par rapport à celle d'en dessous (sinon il suffit de relier ces 2 points avec un autre point du segment horizontal de la même couleur). Voir le pas joli dessin.



Du coup, le côté gauche + le côté droit contiennent en tout b+c = a couleurs

Avec le même raisonnement, mais en partant des 2 autres côtés, on trouve a+c = b et a+b = c

Donc a=b=c=0 couleur ce qui est impossible !

Conclusion, on peut toujours faire un triangle rectangle avec des sommets de la même couleur et inscrit dans le triangle de base !

Il suffit d'avoir un coté en bleu et les 2 autres en rouge...

L'infini, ça me dépasse...

Tu as trouvé une explication qui n'en dépend pas ?

A la demande générale (de Vasimolo), je vais expliciter pourquoi aucun point G ne peut être bicolore...

Montrons que si G est bicolore, alors G va nous permettre de construire un triangle monochrome.
G et D sont évidemment de la même couleur (par exemple bleu).
Soit au moins l'un des 3 A, E ou F est bleu et donc un des 3 triplets formés par G,D et A,E ou F est monochrome bleu. Soit A, E et F sont rouges et forment un triangle monochrome.

Donc si G est bicolore, je suis certain de pouvoir construire un triangle rectangle monochrome.

J'en déduis que le segment ]AC[ est monochrome.

On poursuit alors le raisonnement en montrant que l'on arrive à une autre contradiction.

remarque : je fais peut-être un raccourci topologique en considérant que en chaque point X je vais trouver 2 segments ouverts (à droite et à gauche) monochromes (ce qui semble réaliste pour une œuvre pâtissière).
Dis autrement, je considère que si Y et Z sont 2 points de couleurs différentes de ]AC[ alors il y a un point W de [YZ] qui est bicolore.