J'ai une démonstration pour 7 points :

Définition : Pour deux points [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] recouverts par un gâteau, je définis le triangle [latex]T_{AB}[/latex] qui est le plus petit triangle équilatéral qui a la même orientation que le gâteau et qui recouvre les points [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex].

On peut construire ce triangle en traçant les parallèles à chaque côté passant par [latex]A[/latex] et par [latex]B[/latex].
Par exemple dans la figure ci-dessous [latex]T_{AB}[/latex] est représenté par le triangle violet :




Ce triangle vérifie la propriété suivante :

Lemme 1: Pour tout point [latex]x\in T_{AB}[/latex], si un gâteau recouvre les points [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] alors il recouvre aussi [latex]x[/latex].

      C'est évident, si ce n'était pas le cas, on pourrait facilement trouver un triangle équilatéral  qui recouvre [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] et qui est plus petit que [latex]T_{AB}[/latex] puisqu'il ne contiendrait pas x.

On a une deuxième propriété similaire qui concerne les triangles quelconques  :

Lemme 2 : Soit [latex]D,E[/latex] et [latex]F[/latex] trois points du plan, alors pour tout point [latex]x[/latex] appartenant au triangle [latex]DEF[/latex], si un gâteau recouvre les trois points [latex]D, E[/latex] et [latex]F[/latex], alors il recouvre x.
     C'est trivial. (Une autre façon de montrer le lemme 1 est de voir que c'est un corollaire du lemme 2.)


Maintenant, nous allons montrer le théorème suivant :

Théorème : Pour tout ensemble de 4 points  qui peut être recouvert par un gâteau, il existe 3 points parmi ces quatre qui vérifient la propriété suivante : Si un gâteau recouvre ces trois points, alors il recouvre le quatrième.

Preuve :
Spoiler : [Afficher le message]
Soit donc [latex]A,B,C[/latex] et [latex]D[/latex] quatre points pouvant être recouvert par un gâteau.

Expliquons avec un shéma :


On trace d'abord [latex]T_{AB}[/latex] (en violet). Ensuite on a plusieurs cas :

-Le point [latex]C[/latex] appartient à [latex]T_{AB}[/latex]. Alors où que soit le point [latex]D[/latex], d'après le lemme 1, si un gâteau recouvre [latex]A,B[/latex] et [latex]D[/latex] alors il recouvre C. CQFD.

-Le point [latex]C[/latex] est dans la partie verte. Alors dans ce cas, on a forcément [latex]B\in T_{AC}[/latex]. Et donc où que soit le point [latex]D[/latex], d'après le lemme 1, si un gâteau recouvre [latex]A,C[/latex] et [latex]D[/latex] alors il recouvre B. CQFD.

-Le point [latex]C[/latex] est dans la partie bleue (non hachuré en bas à gauche). Alors dans ce cas, on a forcément [latex]A\in T_{BC}[/latex]. Et donc où que soit le point [latex]D[/latex], d'après le lemme 1, si un gâteau recouvre [latex]B,C[/latex] et [latex]D[/latex] alors il recouvre A. CQFD.

La discussion ci-dessus est valable également pour le point [latex]D[/latex] (on inverse les rôles de [latex]C[/latex] et [latex]D[/latex] (sauf dans le CQFD évidemment )).

Donc pour les points [latex]C[/latex] et [latex]D[/latex] il ne reste plus à étudier le cas des deux régions trapézoïdales qui restent. Pour le point [latex]C[/latex], j'ai choisit une des deux, on aura un raisonnement similaire pour l'autre région.

Donc plaçons le point [latex]C[/latex] dans une des deux régions trapézoïdales.
Les triangles jaunes correspondent à [latex]T_{AC}[/latex] et [latex]T_{BC}[/latex]. Il ne reste plus qu'a étudier les cas pour le point [latex]D[/latex] :

-Le point [latex]D[/latex] appartient à [latex]T_{AC}[/latex]. Alors d'après le lemme 1, si un gâteau recouvre [latex]A,C[/latex] et [latex]B[/latex] alors il recouvre D. CQFD.

-Le point [latex]D[/latex] appartient à [latex]T_{BC}[/latex]. Alors d'après le lemme 1, si un gâteau recouvre [latex]B,C[/latex] et [latex]A[/latex] alors il recouvre D. CQFD.

-Le point [latex]D[/latex] appartient au trapèze hachuré en noir. Alors dans ce cas, on a forcément [latex]A\in T_{DC}[/latex]. Et donc d'après le lemme 1, si un gâteau recouvre [latex]D,C[/latex] et [latex]B[/latex] alors il recouvre A. CQFD.

-Le point [latex]D[/latex] appartient à la zone hachuré bleue. Alors dans ce cas, on a forcément [latex]C\in T_{AD}[/latex]. Et donc d'après le lemme 1, si un gâteau recouvre [latex]A,D[/latex] et [latex]B[/latex] alors il recouvre C. CQFD.

-Le point [latex]D[/latex] appartient à la zone hachuré verte. Alors dans ce cas, on a forcément [latex]C\in T_{BD}[/latex]. Et donc d'après le lemme 1, si un gâteau recouvre [latex]B,D[/latex] et [latex]A[/latex] alors il recouvre C. CQFD.

-Le point [latex]D[/latex] appartient au triangle noir. Alors dans ce cas [latex]D[/latex] est à l'intérieur du triangle [latex]ABC[/latex]. Et donc d'après le lemme 2, si un gâteau recouvre [latex]A,B[/latex] et [latex]C[/latex] alors il recouvre D. CQFD.

Et enfin le cas de la figure :

-Le point [latex]D[/latex] appartient au triangle marron. Alors dans ce cas [latex]C[/latex] est à l'intérieur du triangle [latex]ABD[/latex]. Et donc d'après le lemme 2, si un gâteau recouvre [latex]A,B[/latex] et [latex]D[/latex] alors il recouvre C. CQFD.

Dans tous les cas, il existe toujours trois des quatres points qui lorsqu'ils sont recouverts, alors le quatrième l'est aussi. QED.


Non,non je vous assure ce n'est pas compliqué. C'est long parce qu'il y a beaucoup de cas, mais ce n'est pas compliqué.

Bon revenons à nos tâches

Nous voulons montrer que si n'importe quel groupe de sept taches peut être recouvert par les deux gâteaux alors on peut recouvrir toutes les taches.

Raisonnons par récurrence sur le nombre de taches.

Si il n'y a que 7 taches, alors c'est évident.
Maintenant supposons que ce soit vrai pour n'importe quel ensemble de n+7 taches. Montrons que c'est vrai pour un ensemble de n+8 taches.

-Parmi ces n+8 taches, prenons un ensemble de 7 taches.
-On sait que l'on peut recouvrir ces 7 taches avec les deux gâteaux.
-Par le principe des tiroirs il y a forcément un gâteau qui recouvre au moins 4 de ces taches (d'où le 7).
-Parmi ces 4 taches, d'après le théorème je sais qu'il en existe une qui sera automatiquement recouverte si les trois autres sont recouvertes. Appelons cette tache t.
-D'après l'hypothèse de récurrence je peux recouvrir les n+7 autres taches, et donc le théorème me dit que la tache t est automatiquement recouverte. On a donc trouver un recouvrement des n+8 taches. Qed.

EDIT : HAAAAAAAAA...., Non non non mais non ! Ceci ne marche que si mes quatre taches sont recouvertes par un seul gâteau, et rien assure que le recouvrement donné par l'hypothèse de récurrence vérifie cette propriété !
C'est encore foireux
Pourtant, pourtant, pourtant..., mais non .

La preuve pour 9 points elle utilise quoi comme arguments ?

Je vais essayer de faire simple :

Si on choisit un quadruplet de points, il est toujours possible de le regrouper en
4/0 3/1 ou 2/2, admettons qu'il soit recouvrable dans une de ces configurations.

La position de chacun des deux triangles est limitée par un ou deux points, éventuellement 3 mais cela revient à en prendre 2 dans la position limite du triangle vers le troisième..

Cela n'apporte aucune information déterminante sur la position éventuelle d'un cinquième point.

Par contre, si je choisis 5 points recouvrables,

Pour chaque quadruplet, j'ai la même situation qu'avant, mais je sais que chacun des cinquième points possibles est forcément inclus dans une des positions.

J'essaye alors d'imaginer qu'un point n'est pas recouvrable par les deux triangles.
La positon des deux triangles est donc limitée par d'autres points, et quels que soient ces points, ils se résument au maximum à 2 + 2 Donc , quel que soit la position des deux triangles permettant le recouvrement de tous les autres points, les quatre points limite et le point exclu implique que le quintuplet n'était pas recouvrable. CQFD

Comment recouvres-tu les deux points verts, les deux points rouges et le point bleu du haut ?

Non, ces triangles se superposent chevauchent. (Le pâtissier serait furax si on saccageait son travail en essayant de superposer chevaucher ces gâteaux )

Comment ça légèrement ?
On a bien le même dessin sous les yeux ?
Le triangle avec le point rouge le plus à gauche et le triangle avec le point vert le plus à gauche se chevauchent plus que légèrement !

Un gâteau  ce n'est pas comme une crêpe ou une galette, en général il y a une certaine différence entre le niveau de la table, et le dessus du gâteau. Faire chevaucher les deux gâteaux, ce ne serait pas beau et en plus ils risqueraient de se casser ! Et pour peu que le pâtissier ait fait quelques décorations, c'est foutu !

Plus sérieusement: on a le doit de chevaucher les gâteaux ou pas ?
C'est important, parce que sinon ce n'est plus le même problème.

En essayant de faire une preuve j'ai trouvé un contre exemple de 7 points dont on peut toujours recouvrir 6 d'entre eux sans pouvoir recouvrir les 7.
Mais ce n'est qu'un contre exemple uniquement dans le cas où l'on ne peut pas chevaucher les triangles ! Donc le chevauchement des triangles est un détail qui a son importance.

Disons que les gâteaux du pâtissier reposent sur des présentoirs permettant la superposition . L'objectif premier est de cacher les taches qu'on ne saurait voir .

Vasimolo

PS : Il vrai que le dessin initial laisse supposer que les gâteaux sont disjoints mais le problème me semble moins riche si on interdit la superposition . Tout ça peut bien sûr se discuter et/ou faire l'objet d'un nouveau gâteau

"PS : Ce gâteau est en fait un préambule à un 78 bis "un peu" plus compliqué."



Spoiler : [Afficher le message] Désolé mais mathématiquement je ne peux rien apporter, donc, je détends l'atmosphère ...

@Cogito

Ton contre-exemple pour sept points sans chevauchement à l'air de fonctionner mais c'est très pénible à vérifier ( je suppose que tu as fait tes dessins avec un logiciel de géométrie dynamique ) . En fait le problème est clairement discret et on doit pouvoir placer les points dans un "quadrillage" en triangles équilatéraux . On peut d'ailleurs le faire pour mon exemple précédent .

Vasimolo

Oui Vasimolo, pour ton exemple à 6 pts sommets d'un hexagone (cas que j'avais bien sûr regardé), ça marche si superposition possible. Mais non si superposition interdite.

Un exemple avec huit points ( toujours en interdisant les chevauchements  ) et des gâteaux formés de 5X5 triangles .



Il faut clairement chercher un maximum de symétrie dans les positions .

J'ai l'impression qu'on peut continuer comme ça à l'infini et que le pâtissier serait dans de mauvais drap s'il n'autorisait pas la superposition des gâteaux

Vasimolo

Un petit résumé du problème pour ceux qui n'ont pas tout suivi , c'est à dire tout le monde à une ou deux exceptions près

Contrairement à mon habitude , je vais essayer d'être clair .

On a deux gâteaux en forme de triangles équilatéraux de même taille que l'on va disposer sur une nappe . L'orientation des gâteaux est imposée ( la même pour les deux ) mais pas la position .

Les deux gâteaux doivent cacher toutes les taches d'une nappe ( supposée infinie ) sur laquelle on les pose .

Hypothèse : On suppose que si on choisit "n" taches au hasard sur la nappe , on peut toujours les cacher avec les deux gâteaux .

Problème : comment choisir "n" minimum pour être assuré de pouvoir cacher l'ensemble des taches de la nappe ??????

1ère interprétation ( la mienne ) : pour cacher les taches on accepte que les gâteaux se superposent .

J'ai donné un exemple où n=5 taches quelconques peuvent être recouvertes mais pas la sixième . En bref n est supérieur à 5 mais combien vaut-il (s'il existe ) ?

2ème interprétation ( celle du reste du monde ) : On cache les taches sans superposer les gâteaux ) .

J'ai donné un exemple de n=7 taches quelconques peuvent être recouvertes par les deux gâteaux pas la huitième ( je pense qu'on peut aller bien plus loin ) .

J'espère que c'est plus clair

En tout cas , Gwen , quelle que soit ta compréhension du problème , ta solution n'est pas bonne

Vasimolo