Bonsoir,
J'ai trouvé 2 solutions (valeurs en cm) :
a=19 b=38 c=76 d=152 reste=1
a=27 b=45 c=75 d=125 reste=8

Ajouté :
Si on accepte que le gâteau de gauche puisse être le plus grand, on a en plus
a=125 b=75 c=45 d=27 reste=8
a=152 b=76 c=38 d=19 reste=1

Édité : Si je tiens compte de la remarque (tout à fait justifiée) de Vasimolo en #4, il ne me reste plus aucune solution.

oups oui 19+38 c'est dur d'avoir un triangle à 76 

Deux solutions qui ne correspondent pas tout à fait à l'énoncé :

Deux triangles équilatéraux de 65 ou 66 cm de côté, il n'a qu'à faire celui des parents plus épais

Sinon , on est limités par un rapport de (1+rac(5))/2 , donc pas de solution entière.

Si on laisse de côté la longueur du reste de ruban , il n'y a que cinq paires de gâteaux qui satisfont aux exigences du pâtissier . Il n'y a plus qu'à calculer le reste pour chacune d'entre elles .

C'est bien plus simple et plus rapide que ça en a l'air

Vasimolo

PS : Gwen tu as la bonne borne du rapport entre les deux gâteaux , n'oublie pas que ce rapport doit être rationnel et supérieur à 1 .
PPS : Unecoudée : il te reste une paire de gâteau à trouver .

j'ai une somme de 392 mais pas de triangle constructible  avec:  27 , 45 , 75 & 125 et le rapport:  5/3 > nb d'or 1.6180339...

Bah ce sont a, b, c, d et la longueur totale.

@Tous : ceux qui ont suivi du coin de l’œil les péripéties de mon pâtissier savent que le mensonge ne lui fait pas peur mais qu'alors il faut lui faire entendre raison autrement qu'avec un argument du style : "j'ai tout essayé et il n'y a rien qui marche"

Bon, je préfère ça....
L'équation de toutes lee données du problème se résume par
390<a(1+2k+2k²+k^3)<400 avec k<nb d'or et a,ka,ka²,k^3*a entiers.

On pose k=p/q. il faut a=a'q^3.
390<a'(q^3+2pq²+2p²q+p^3) avec p>q
Pour p=q, limite inf----->6q^3<400  donc q<5

ça ne marche pas avec q=2 (3/2) q=3(4/3) q=4(5/4).
 
il n'y a pas de solution.

Après une petite réflexion, on s'aperçoit que les relations entre les cotés des triangles imposent que :
     A soit de la forme i*n^3,
     B de la forme i*n^2*m,
     C de la forme i*n*m^2,
et   D de la forme i*m^3.

Il ne reste plus beaucoup de solutions à tester pour trouver i, n et m.
1er essai :
Avec i= 1, n= 3 et m = 5, on obtient:
   A = 27, B = 45, C= 75 et D = 125, soit L = 392 cm.
mais on ne respecte pas l'inégalité triangulaire : A+B = 72 < C 

2ème essai :
Avec i= 4, n= 2 et m = 3, on obtient:
   A = 32, B = 48, C= 72 et D = 108, soit L = 380 cm.
L'inégalité triangulaire est bien respectée mais il reste plus de 10 cm ...

3ème essai :
Avec i= 2, n= 3 et m = 4, on obtient:
   A = 54, B = 72, C= 96 et D = 128, soit L = 518 cm.
L'inégalité triangulaire est bien respectée mais les 4 m de ruban sont loin de suffire ...

Ton pâtissier se serait-il moqué de toi , ou bien serais-je passé à coté de quelque chose ???

Est-ce qu'il existe une solution?

A cause de l'inégalité triangulaire, je n'ai trouvé que les triangles équilatéraux de côtés 65 et 66.

Est-ce qu'il existe une solution?

Soit k=b/a=c/b=d/c

On majore k.
Selon l'inégalité triangulaire, c<a+b donc k²a<ka+a donc k<PHI (trivial)

Selon la découpe, a+2ka+2k²a+k^3<400 mais c'est en même temps supérieur à 390. On simplifie tout ça!
390<a(k+1)*(k²+k+1)<400
On note k=p/q irréductible. Donc q^3 divise a, on note d'ailleurs a=q^3*m avec m entier aussi.
Ainsi 390<m(p+q)(p+q+1)(p+q-1)<400 après une très lourde simplification

On cherche un nombre compris entre 390 et 400 multiple de 6.

396 est le seul.
396=2²*3²*11
On fait ressortir le m=11 car 10 et 13 ne sont pas atteignables par les facteurs premiers de 396
d'où (p+q)(p+q-1)(p+q+1)=36 et on voit très vite que c'est impossible.

Donc il n'existe aucune solution


Edit: d'ailleurs c'est facile à vérifier, on a soit k=3/2 ce qui débouche sur 4 cas avec a=8m,m<->[1;4] ou k=4/3 avec a=27 mais les cas ne marchent pas

Oui c'est bon ou oui il y a une solution?