J'aurais dit 1/7 après observation de l'arbre des probas. Mais ça ne valide pas.

@enigmatus : Et bien c'est (presque) parfait !
Il aurait juste fallu rapidement justifier pourquoi ta valeur est le bon résultat, et pas P=1, valeur qui annule aussi ton expression !

@nodgim : Je ne sais pas trop d'où sort ta valeur ^^'

@kossi : Que répondre à ça !
En effet la réponse est la bonne, ton code est efficace, mais le pourquoi reste intéressant !

P = 1/8 + 3/8*P + 3/8*P² + 1/8*P^3

donne (P-1)(P²+4P-1) = 0

donc P=1 ou P=rac(5)-2

Je pense que P ne vaut pas 1, mais je n'ai pas encore trouvé pourquoi

J'ai trouvé pourquoi P ne peut être égal à 1.

On note P(n) la proba que le nom ait disparu au bout de n générations

Alors P = lim P(n)

On a P(n+1) = 1/8 + 3/8*P(n) + 3/8*P(n)² + 1/8*P(n)^3

On note a = rac(5)-2

et f la fonction définie par f(x) = 1/8 + 3/8*x + 3/8*x² + 1/8*x^3

Remarque : f(a) = a  (cf message précédent)

La fonction f est croissante sur l'ensemble des réels positifs, comme somme de fonctions croissantes.

Par récurrence, on prouve alors que que 0 <= P(n) <= a :

Initialisation : P(0) = 0 donc 0 <= P(0) <= a

Hérédité : Si 0 <= P(n) <= a alors par croissance de f sur R+, 
f(0) <= f(P(n)) <= f(a) donc  0 <= P(n+1) <= a

Par conséquent, P(n) <= a pour tout n, et donc P <= a.

CQFD

Fainéant et optimiste comme je suis, j'aurais dit 100%. Après un temps infini, cela ne devrait-il pas arriver ?
Les calculs me semblent vite fastidieux. 1/8 à la première génération...

@enigmatus : Voilà, c'est parfait !

@titoufred : En effet, c'est bien ça, mais pour trouver laquelle est la bonne, il faut jeter un coup d'oeil à la relation de récurrence qui est sous-entendue dans ton raisonnement !
EDIT : T'as pensé à ça, je retire, BRAVO !

@Vasimolo : Comme tout le monde, avec ton expression, il semble que P=1 fonctionne aussi alors, non ?

@dylasse : Pour éliminer 1, il faut étudier la récurrence de ton raisonnement, peut-être faire une étude de fonction pour voir que 1 n'est pas possible, toussa, toussa...

@fix33 : En première lecture, c'est ce que j'ai pensé aussi ! Mais quelle ne fut pas ma surprise de trouver une valeur bien différente après une étude (pas si longue ) du problème.

@Franky1103 : L'énoncé était peut-être ambigu, mais ils n'arrêtent pas de faire des enfants après la première génération !
Ils continuent encore, et encore, et encooore, et on voudrait savoir vers quoi va tendre la probabilité que le nom s'éteigne.

Je me suis effectivement bêtement arrêté au bout de deux générations.

En passant d'une génération à la suivante:
- Probabilité d'avoir trois filles (mais aucun garçon) = FFF = 1/8,
- Probabilité d'avoir deux filles (et un seul garçon) = FFG+FGF+GFF = 3/8,
- Probabilité d'avoir une seule fille (et deux garçons) = FGG+GFG+GGF = 3/8,
- Probabilité de n'avoir aucune fille (mais trois garçons) = GGG = 1/8.

J’appelle P la probabilité que le nom disparaisse. J’aurai:
P = (1/8).1 + (3/8).[(1/3).P + (2/3).1] + (3/8).{(2/3).[1-(1-P)²] + (1/3).1}
+ (1/8).[1-(1-P)³]
Après simplification, j’aurai: P³-5.P²+4 = 0, soit: (P-1).(P²-4.P-4) = 0
J’aurai alors: P = 2.(1+V2), rejetée car >1; ou: P = 2.(1-V2), rejetée car <0; ou:
P = 1

Je serai donc certain que le nom disparaisse, mais cette réponse n'est pas validée.
J’ai encore dû faire une erreur de raisonnement quelque part. Affaire à suivre …

Edit: Maintenant que le masque est levé, je vois où est mon erreur: j'aurais dû multiplier les probabilités de deux évènements indépendants, comme on le fait traditionnellement.

Bonsoir,

Il y a un truc qui m'échappe. Quand je prends l'explication de Titou, tout est nickel sauf que je ne vois pas d'où vient :

On a P(n+1) = 1/8 + 3/8*P(n) + 3/8*P(n)² + 1/8*P(n)^3

Je ne vois pas comment est pris en compte le nombre de mâles AZERTY de la génération n pour établir cette relation de récurrence, et pourtant ce nombre me semble influant (pour une même probabilité de non extinction à la génération n (1-P(n)), ce n'est pas la même chose d'avoir un seul mâle AZERTY ou un très grand nombre à cette génération n pour calculer la probabilité d'extinction à la génération suivante).

A la génération 2, on a déjà 9 enfants de 3 types possibles : mâles AZERTY, mâles non AZERTY et filles, et le décompte des possibilités est déjà très lourd.

Merci de m'éclairer sur l'origine, a priori évidente, de la relation de récurrence. Je ne dois pas regarder par le bon bout !

Vasimolo a écrit:

Bien sûr que p=1 fonctionne et avec p=i on se poserait la question ?
Vasimolo

Que veux-tu dire par là Vasimolo ? C'est évident que p=1 ne peut pas convenir pour toi ?

@dylasse : je note P(n) la probabilité que le nom ait disparu au bout de n générations au maximum. Après, on raisonne juste sur le nombre de garçons de Gontrand pour établir l'égalité avec P(n+1) : il a une proba 1/8 d'avoir 0 garçon et le nom disparait, proba 3/8 d'avoir un garçon et le nom disparait avec une proba P(n), ...., proba 1/8 d'avoir 3 garçons et le nom disparait avec une proba P(n) pour chacune des 3 lignées donc avec une proba P(n)^3 pour toutes les 3.

La recherche de la proba conduit à une équation. La résolution de l'équation ne  conduit pas tjs à des solutions en rapport avec le problème. De même que P=1 est écarté par une raison de bon sens, de même la racine négative n'est pas retenue. Quelle serait ici la réalité de la racine négative ? Dans ce problème, on cherche une proba comprise entre 0 et 1, pas la proba 1. On pourrait l'écrire par avance dans l'intervalle des solutions possibles pour lever toute ambiguïté. Je crois que ça ne choquerait personne. C'est l'inverse qui serait difficile à soutenir.

Il n'y a pas d'erreur, la proba cherchée P est une limite de probas P(n) lorsque le nombre n de générations tend vers l'infini. Même si P(n)<1, la proba P=1 n'est pas du tout à écarter d'entrée. Avec 2 enfants, le nom va disparaitre de façon (quasi-)certaine avec le temps.

@Vasimolo : L'argument avec le nombre moyen de garçons ne suffit pas selon moi.

Rien que le fait de te poser la question "le choix n'est-il pas évident ?" apporte la réponse à ta question.