Enigme CoPIe et recoPIes. @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonjour à tous,
Un petit problème pas méchant sur le nombre Pi.
Montrer qu'il existe au moins un nombre entier de plus de 10^(10^(10^10)) chiffres, qu'on peut voir une infinité de fois dans la séquence des décimales de PI.

Bonne recherche

titoufred · #2

On pose n=10^(10^(10^10))+1

Le nombre de séquences de n chiffres ne commençant pas par un 0 dans la séquence des décimales de PI est infini, et le nombre de nombres de n chiffres est fini, donc il existe au moins un nombre entier de n chiffres exactement qu'on peut voir une infinité de fois dans la séquence des décimales de PI

shadock · #3

Encore mieux, faisons le une bonne fois pour toute avec un nombre de n chiffres se répétant m fois dans Pi :

Il y a donc 10^n séquences de n chiffres, si aucune d'elles se trouve plus de m fois dans le développement décimal de Pi alors le développement décimal de Pi fait au plus m*10^n chiffres, donc Pi est rationnel....ce qui est faux.

D'où le résultat.

Shadock

nodgim · #4

Oui Titoufred et Shadock.

titip1995 · #5

Pi est supposément un nombre univers. Autrement dit il a potentiellement tout les nombres que l'on désire dans ses décimales et donc une infinité de fois le nombre que l'on désire.

nodgim · #6

Tilip, non. Je ne crois pas qu'on sache aujourd'hui si Pi est un nombre univers. Quand bien même, ça ne prouverait pas qu'il existe une infinité de séquences d'un nombre donné.

titip1995 · #7

J'ai eu une idée que je considère un peu bête mais bon... Tu dis bien "voir", du coup, il suffit juste de lire et relire encore la même série de chiffres. Non? (Je sens que je dis une bonne grosse bêtise mais qui ne tente rien...)

Vasimolo · #8

Bonsoir

Il y a un nombre fini de nombres entiers avec 10^10^10^10 chiffres donc l'un d'entre eux apparait une infinité de fois dans l'infinité des décimales de pi .

Vasimolo

Promath- · #9

Prenons le nombre qui commence à la première décimale (1415...) puis le deuxième à partir de la 10^(10^(10^10))ème décimale et ainsi de suite 10^(10^(10^10))*n fois. On a donc 10^(10^(10^10))n nombres à 10^(10^(10^10)) décimales. Selon le principe des tiroirs, un des nombres est représenté n fois au moins. Or pi admettant une infinité de décimales, n tend vers l'infini donc un des nombres sera présent en quantité infinie.

nodgim · #10

Promath et Vasimolo, oui aussi.
Comme c'est un peu facile pour la plupart des habitués de ce site, une petite question subsidiaire :

Prouver qu'il existe une infinité de nombres différents représentés une infinité de fois.

Vasimolo · #11

S’il y a un nombre fini de nombres répétés une infinité de fois il y en a un plus grand G qui va être suivi d’un 0 , 1 , … 9 . Au moins l’un des G0 , G1 , … G9 est présent une infinité de fois …

Vasimolo

nodgim · #12

Attention à tous: je viens de me rendre que toutes les réponses données sont fausses en l'état. Il faut lever une réserve avant de conclure. Je vous laisse le soin de réfléchir à cette réserve et de la lever.

Vasimolo: oui, mais après avoir levé la réserve.

Vasimolo · #13

Je suppose que tu veux parler des "0" en début de nombre , ce n'est pas un obstacle , il suffit de ne considérer que les nombres ne commençant pas par "0" .

Faut-il rappeler que pi n'est pas un nombre décimal

Vasimolo

titoufred · #14

Pour la réserve : quelle est-elle sur mon raisonnement ?

Pour la question subsidiaire, on fait le même raisonnement pour n+1, n+2, n+3, etc...

nodgim · #15

Vasimolo oui, mais un peu de plus de rigueur dans la réponse ne serait pas superflu.
Titoufred: je disais que je laissais réfléchir à cette réserve.

A tous: l'énigme est: prouver qu'il existe un nombre de 10^(10^(10^10)) chiffres qui....
Les réponses qui sont faites ne prouvent pas qu'il existe un nombre de...

Vasimolo · #16

Tu chipotes Nodgim

On a montré qu'il existe un nombre aussi grand que l'on veut revenant une infinité de fois : il suffit de lui couper la queue pour avoir la taille voulue

Vasimolo

nodgim · #17

J'ai décidé de ne pas comprendre à demi mots aujourd'hui.

shadock · #18

Prouver qu'il existe une infinité de nombres différents représentés une infinité de fois.

Ma démo fonctionne, il suffit de considéré un nombre et de répéter ce nombre m fois en le concaténant à lui-même et en faisant tendre m vers l'infini...
Ca marche avec tous les nombres. En revanche je vois qu'il y aurait une subtilité, je n'ai pas encore vu laquelle.

Shadock

nodgim · #19

Shadock, à la lecture de ton dernier message et à la relecture de ton 1er (msg 3) il y a quelque chose de curieux dans ton raisonnement. Je ne dis pas que ce n'est pas bon, mais le fait que m puisse être limité me laisse perplexe. Même avec un nombre rationnel.

Sinon, Titoufred et Vasimolo ont bien perçu la réserve que j'ai émise, mais sans avoir pour l'instant prouvé qu'on pouvait la lever.

halloduda · #20

Ben ça me semble simple.
Si ce n'était pas le cas, alors pi serait périodique de période inférieure ou égale à une fonction de m et N, peut-être (mN)!, je n'ai pas le courage de chercher, en tous cas finie, donc pi serait rationnel. On sait que c'est faux.
(J'appelle N le nombre 10^etc... de l'énoncé et m un nombre fini arbitraire de fois)
Donc m est infini QED.

nodgim · #21

Aucune réponse correcte et complète pour l'instant. On n'est pas loin mais il faudrait tout de même formaliser rigoureusement. Ce n'est pas long.

papiauche · #22

A la lecture de ce post, je me pose une question:

y-a-t-il une différence de réponse aux deux questions si on remplace pi par 1/3?

Vasimolo · #23

En effet il n'y a pas de différence les valeurs prises étant alors 3 ; 33 ; 333 ; 3333 ; .... Il faut tout de même éviter les décimaux : 1/5 poserait problème .

Vasimolo

nodgim · #24

C'est bien de se poser la question Papiauche. En effet, pour un rationnel à développement décimal illimité, un nombre de n chiffres (donc qui ne commence pas par zéro) s'inscrira dans une ou plusieurs copies consécutives de la séquence des décimales du rationnel. Ce qui est sûr, c'est que ce nombre à n chiffres est représenté infiniment. Il peut y avoir plusieurs nombres de n chiffres représentés infiniment, selon la longueur de la séquence et son contenu. Mais il peut n'y avoir qu'un seul nombre de n chiffres.

En revanche, pour PI, il y a toujours au moins 2 nombres de n chiffres représentés infiniment. Pourquoi ?

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#1 - 06-04-2015 11:45:39

CoPIe et recoIes.

#0 Pub

#2 - 06-04-2015 13:24:06

copie et rrcopies.

#3 - 06-04-2015 14:09:14

CoPIe et reocPIes.

#4 - 06-04-2015 17:04:19

CoPIe et recoIPes.

#5 - 06-04-2015 18:12:16

CoPIe et recoPIees.

#6 - 06-04-2015 18:23:17

CoPIe et rceoPIes.

#7 - 06-04-2015 18:33:01

CPoIe et recoPIes.

#8 - 06-04-2015 21:34:01

CooPIe et recoPIes.

#9 - 07-04-2015 06:44:20

cooie et recopies.

#10 - 07-04-2015 08:49:23

CoPIe et recoPIes

#11 - 07-04-2015 10:20:08

copie et recopied.

#12 - 07-04-2015 10:25:10

CoPIe et recoPIe.s

#13 - 07-04-2015 10:29:59

CoPIe e trecoPIes.

#14 - 07-04-2015 10:47:10

CoPIe et recoPIIes.

#15 - 07-04-2015 10:54:32

CoPIe et recoPIe.

#16 - 07-04-2015 11:02:05

copie et recopieq.

#17 - 07-04-2015 12:01:27

CoPIe et recoPIes..

#18 - 07-04-2015 22:42:19

CoPPIe et recoPIes.

#19 - 08-04-2015 08:54:49

copie et recopues.

#20 - 08-04-2015 09:15:57

CoPIe et ecoPIes.

#21 - 10-04-2015 09:00:11

CoPIe et recooPIes.

#22 - 10-04-2015 17:36:11

CoPIe et ercoPIes.

#23 - 10-04-2015 17:50:28

CoPI et recoPIes.

#24 - 10-04-2015 18:27:33

CoPI et recoPIes.

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