Je pense avoir  trouvé pour les carrés et les cubes:

Soit un nombre  entier X quelconque
On note Y(X) =  ent( racine ((X+0.5)*10^k)

On constate que pour k suffisamment grand Y ^2 commence par X car pour k suffisamment grand ce chiffre commencera par X4.

Cela semble pourvoir se justifier rigoureusement facilement

X est donc un nombre univers.

Le raisonnement semble rester valable pour toute autre puissance y compris les cubes

Pour les nombres premiers ça semble plus difficile...non ? Y a il des connaissances requises particulières ?

Je vais essayer...

Est ce juste de dire que le raisonnement d'applique à carré et cube mais que pour les nombres premiers c'est totalement différent (y compris peut être la conclusion)

Je vais essayer de détailler :

Soit A un nombre quelconque.

Notons B=(A+0.5) * 10^(2n) (qui dépend de n, entier) et C=Ent (racine (B ) )

* D'une part, on a par définition C^2<B

* D'autre part , comme ent(X)>X-1, on a :

     C > racine(B)-1 et donc
     C^2 > 10^(2n)*A *  [(1+0.5/A)*(1 - 1/(racine(B)))^2 ]

Quand n tends vers l'infini, (1 - 1/(racine(B)))^2 tends vers 1

et   (1+0.5/A)*(1 - 1/(racine(B)))^2 tends vers (1+0.5/A)

Il existe donc un rang n à partir duquel C^2> 10^(2n)*A

* Il existe donc pour tout A un nombre entier C (défini par n ainsi déterminé) tel que l'écriture de C^2 commence par A ce qui conclut le cas des suites des carrés et de manière analogues toutes les autres puissances dont les cubes...


Pour les suites de nombres premiers, je conjecture que comme:

- on n'a pas de méthode constructive simple pour trouver des nombres premiers contenant des séries de chiffres (pas moi en tout cas)
- la question laisse entendre qu'une réponse peut être apportée

on aura du mal a prouver que c'est un nombre univers. Il serait plus aisé de montrer que ce nombre ne l'est pas en apportant un contre exemple judicieusement choisi. Est ce la bonne direction ?

J'ai juste une petite piste : aucun nombre premier ne se termine par 4,6,8,0 donc si la série de chiffres ne contenait que ces derniers, il faudrait que cette série soit contenue dans l'écriture d'un nombre premier unique de son milieu (ou début) jusqu'à au plus 1 chiffre avant sa fin. Pas gagné...

Je ne comprend pas en quoi le raisonnement est différent pour toute autre puissance ?

Considérons la suite de puissance k
B=(A+0.5) * 10^(k*n) et C = ent (B^(1/k))
C>B^(1/k)-1
C^k > 10^(k*n) * A * [ (1+0.5/A) * (1-1/B^(1/k))^k  ]

or (1+0.5/A)>1 et  (1-1/B^(1/k))^k  tend vers 1 pour n assez grand.

donc à partir d'un certain rang :
[ (1+0.5/A) * (1-1/B^(1/k))^k  ]>1 et C^k > 10^(k*n) * A

Une petite indication pour les nombres premiers serait la bienvenue...

Merci pour les puissances...pour le reste...tu es sans coeur... ;=)
Ne serait ce que chercher quelle solution démontrer ?

Dis juste sans donner d'indice si avec mon niveau BEPC 1984 je peux résoudre ou s'il faut être capable de redémontrer le théorème de Green-Tao et je passerai mon tour d'ici que je sois à la retraite...

Je viens de faire une petite recherche : on en sais pas si racine(2) est "univers", et pour pi (on le pense mais pas sur non plus)....le problème peut donc être très simple..comme très compliqué...

PS : Je  me régale avec ce genre de sujets..Je découvre les math avec plaisir grâce à vos sujets...On en veux d'autres : des gâteaux, des nombres loufoques...

Dans ce cas je n'ai rien dit...A mon avis la réponse est délicate.

Parmi les idées qui pourraient contribuer à "démontrer" qu'il s'agir d'un nombre univers il y a des éléments de densité. En l’occurrence, le théorème de Tchébycheff nous dit que pour tout n entier ≥ 2, il existe au moins un nombre premier strictement compris entre n et 2n. Mais au delà d'essayer des contrôler des fragments de nombres premiers, ça ne me met pas sur une bonne piste...

Je ne cherche pas à répondre à la question pour le moment, parce qu'elle me dépasse largement hhhh! Ce que je veux ce sont les directives, les conseils de vous qui êtes déjà bien assis sur le sujet afin de découvrir les maths de la meilleure des façons. C'est une passion que je nourris, d'être un bon mathématicien! Donc tous vos conseils sont les bienvenus.

Merci pour ce lien Ebichu ! J'en retiendrai ce théorême:

ln n +ln ln n -1 < pn/n < ln n +ln ln n

Ce n'est pas exploitable en l'état pour prouver que la suite des premiers est nombre-univers, il faut creuser ça...

"Donc 0,23571113... est un nombre normal, or tout nombre normal est un nombre univers donc 23571113... la concaténation de tous les nombres premiers est un nombre univers."

Pas vraiment compris cette pirouette, Shadok. Pourquoi passer au préalable par 0,.... ? Qu'est ce que ça apporte de plus dans le raisonnement le fait de démarrer par une virgule ?

La dernière formule me dépasse un peu mais permet de conclure immédiatement en effet pour les suites de premiers...

Une chose impressionnante : cela montre par exemple que l'on ne peut pas construire de suite de nombres ne contenant pas, par exemple le chiffre 7, dont le quotient des nombre successifs tendrait vers 1... Au début je trouvais ça bizarre mais en fait ça semble bien vrai...en effet on doit passer de 699..999 à 800..000 ce qui fait un ratio >1 à chaque rang...ce qui donne une preuve simple je crois...C'est probablement l'idée de la preuve car ce qui est vrai pour 1 chiffre l'est pour toute série de chiffre en généralisant l'exemple précédent...C'est ça ?


Mon grain de sel sur les nombres univers :

L'exemple des livres est impressionnant. Mais cela s'applique aussi aux chansons (MP3 ), films (DVD...) passé et...futurs...

D'un point de vue science fiction, le nombre univers est un peu une machine a voir le futur. Assez effrayant façon 1984...

Attention, j'ai déjà la connaissances des photos que vous ferez l'année prochaine...Si si, elles sont quelque part dans mon nombre...

Dire que mon nombre contient la sex-tape que tu as fait hier soir...sans même la filmer...moi je trouve ça rigolo.. !

(ou en la filmant, je ne sais pas..même si mon nombre le sait ! )

Valbuena tremble quand il entend parler de nombre univers...

Merci Shadock.