Pour que le nombre reste inchangé après une symétrie miroir (on va l'appeler nombre miroir)  il doit respecter cette règle si le nombre est écrit sur 2n+1 bits le chiffre qui est dans une k ème position doit être le même que le chiffre qui est dans la (2n+2-k) position.
Pour 3 bits les nombres miroirs sont 111 et 101 donc il y a 2 nombres.
Pour 5 bits les nombres miroirs sont 11111,11011,10101,10001 donc il y a 4 nombres.
Pour 7 bits les nombres miroirs sont:
1111111,1110111,1101011,1100011,1011101,1010101,1001001,1000001
donc il y a 8 nombres.
On considère Un le nombre des nombres miroirs lorsqu'on a des nombres écrits sur 2n+1 bits.
Pour 2n+1 bits on pose 1 pour respecter la règle (le nombre doit commencer par 1)
Alors on a 1x1 tel que x un nombre miroir binaire (et qui peut commencer par 0) codé sur 2n-1 bits.
Maintenant posons un autre 1 le nombre devient 11x11 avec x est codé sur 2n-3 bits avec cette combinaison le nombre des nombres miroirs en changeant x à chaque fois va être égal à U(n-1),maintenant si on pose 0 le nombre devient 10x01 dans ce cas aussi le nombre des nombres miroirs va être égal à U(n-1).
On a seulement ces 2 cas donc Un=2U(n-1).
Donc Un=2ⁿ pour n≥0
Bonne journée.

Nodgim: je ne vois pas pourquoi.

dbab3000: Tu n'as pas bien lu les questions, relis bien

enigmatus: je ne suis pas d'accord lorsque n est impair. Je ne trouve pas 4 d'ailleurs, peux tu les citer?

-On considère les nombres écrits en base deux
-La symétrie miroir consiste à inverser l'ordre des chiffres: 00111 devient 11100

Combien de nombres à n bits restent inchangés après une symétrie miroir? (010 n'est pas un nombre, un nombre commence par 1)

n pair : 2^(n/2-1)
n impair : 2^((n-1)/2)

-On tolère désormais les "nombres" commençant par 0

Combien de nombres à 3 bits sont doublés après une symétrie miroir? Les citer

000
011

Combien de nombres à 5 bits sont doublés après une symétrie miroir? Les citer

00000 , 00110 , 01001 01111       

Combien de nombres à 7 bits sont doublés après une symétrie miroir?

0000000 0001100 0010010 0011110 0100001 0101101 0110011 0111111       

Peut on généraliser à 2n+1 bits?

On dirait 2^n

Je n'avais pas compris que les 2 phrases s'adressaient à des parties différentes du problème, c'est bon maintenant.

Pour la 1ère question:

le nombre doit être de la forme 1abc...cba1.
Si n pair, il y a 2^(n/2-1) nombres qui sont égaux à leurs miroirs.
Si n impair, il y en a 2^(n/2-1/2).

Pour la seconde question:

Même format de nombres que ci dessus, avec un 0 en tête, soit
01abc...cba1

Détail pour n chiffres
011 (1 chiffre)
01a1 (2)
01aa1 (2)
01aba1 (4)
01abba1 (4)
01abcba1 (8)
01abccba1 (8)
...

Si n pair-------->2^(n/2-2)
Si n impair---->2^(n/2-3/2)


NB: valable si un seul 0 en tête.

C'est vrai je n'ai pas bien lu les questions, je retente pas chance:
Pour la première question:
Combien de nombres à n bits restent inchangés après une symétrie miroir?
On considère [latex]U_{k}[/latex] le nombre des nombre miroirs pour les nombres à n bits.
La formule [latex]U_{k}=2U_{k-1}[/latex] est toujours valable
Si n=2k (pair)
n=2 et U₁=1 alors [latex]U_{k}=2^{k-1}[/latex]
Si n=2k+1 (impair)
n=1 et U₀=1 alors [latex]U_{k}=2^{k}[/latex]
Pour la deuxième question:
Combien de nombres à 3 bits sont doublés après une symétrie miroir?
Les nombres sont: 000 et 011 donc il y a 2 nombres.
Pour la troisième question:
Combien de nombres à 5 bits sont doublés après une symétrie miroir?
Les nombres sont: 00000,00110,01001 et 01111 donc il y a 4 nombres.
Pour la quatrième question:
Combien de nombres à 7 bits sont doublés après une symétrie miroir?
Les nombres sont: 0000000,0100001,0010010,0001100,0110011,0101101,0011110 et 0111111 donc il y a 8 nombres.
Pour la cinquième question:
Peut on généraliser à 2n+1 bits?
On considère X₁ le nombre avant le changement miroir et X₂ le nombre après le changement.(Les nombres sont codés sur 2n+1 bits)
Pour avoir X₂=2X₁ alors X₂ doit être pair donc X₂=(A0)₂
Ce qui implique que  X₁=(0A)₂ avec A est un nombre binaire codé sur 2n bits
On a:
X₁=(0A)₂=[latex]A=\sum_{k=0}^{2n-1}a_{k} 2^{k}[/latex]
[TeX]X_{2}=\sum_{k=0}^{2n-1}a_{k}2^{2n-k}=2X_{1}[/TeX]
Alors
[TeX]\sum_{k=0}^{2n-1}a_{k}2^{2n-k}=\sum_{k=0}^{2n1}a_{k}2^{k+1}
[/TeX]
Alors [latex]a_{k}=a_{2n-1-k}[/latex]
Alors A est un nombre miroir
Donc pour que X₁ soit doublé après un changement miroir il suffit que X₁=(0A)₂ avec A un nombre miroir codé sur 2n bits
On considère [latex]V_{n}[/latex] le nombre des nombres qui sont doublés après un changement miroir et qui sont codés sur 2n+1 bits
La formule [latex]V_{n}=2V_{n-1}[/latex] est encore valable dans ce cas
On a n=0 V₀=1
Donc [latex]V_{n}=2^{n}[/latex]
J'espère que j'étais assez clair.
Bonne soirée.

enigmatus: non effectivement, dans ce cas c'est bon!

gwen: bien, conjecture juste!

7nyguita7: ta conjecture est juste aussi, c'est ok!

nodhim: je ne suis pas d'accord avec toi dans le cas impair. La suite n'est pas juste, je pense qu'il faut que tu revoies la 1ère partie

portugal: concis et juste, c'est très bien!

dbab: Très bien, rien à ajouter!

Franky: c'est juste! bon courage pour la suite!

Généralisation: nombres à 2n+1 bits doublés après une symétrie miroir = 2^n - 1
quant à le démontrer ...

dbab: Mon dieu! étourderie corrigée!

Franky: Conjecture juste

Nodgim: Oui, pour la partie deux. Non, sinon.

Bon, pour la 2ème question, avec 2n+1 chiffres, on totalise 2^n nombres dont le miroir est le double.

Exemple avec 2n+1=9:

01abccba1---->8 nombres
001abba10---->4
0001aa100---->2
000011000---->1
000000000---->1

On trouve 16 nombres.

On obtient le même résultat avec 2n chiffres.