@gwen27 :

Certes, mais qu'en est-il pour une feuille bien réelle de longueur $l > 0$ et d'épaisseur $e > 0$ ?

La question ne porte pas sur la difficulté du pliage, mais sur ce qu'il est physiquement possible d'atteindre (à quelques approximations près)

@Franky1103 :

Ok ! Une démonstration peut être ?

@Vasimolo :

Oui c'est presque ça : le dernier terme est de trop cependant !

@masab :

Plier pour faire 2 parties égales bien sur

Je dois faire une erreur logique quelque part car je n'arrive pas à me débarrasser du terme correctif ( même si je n'avais pas proposé le bon ) :
$$L=\displaystyle{\frac{\pi  e}{6}(2^n+4)(2^n-1)+\frac{(4^{n-1}+2)e}{3}}$$
Un exemple à quatre plis :



Les lignes rouges représentent le papier qu'il faut ajouter pour autoriser ce nouveau pli . Il me semble bien qu'en plus des demi-cercles il faut ajouter quelques segments .

Un exercice très amusant en tout cas

Vasimolo

@Vasimolo :

Ok c'est tout bon

@nodgim :

Spoiler : [Afficher le message]
Dans la réalité plier en 2 ne reviens pas à couper en 2 puis empiler les 2 moitiés !

En fait dans le lien donné par Franky1103 on considère que "plier en deux" se fait en alignant les centres des demi-cercles : il n'y a donc pas de terme correctif.

Mais au final je trouve qu'aligner les sommets des demi-cercles a plus de sens même si la formule qui en résulte est légèrement plus compliquée

Solution :

On considère une feuille de papier d'épaisseur $e$ et de longueur $L$

Pli n°1 :



Pli n°2 :



Pli n°3 :



Il est possible de plier la feuille tant que l'opération ne fait pas disparaitre la zone quadrillée.

On désigne maintenant par perte de longueur la longueur de papier qui sort de la zone quadrillée lors du pliage.

1) Perte totale de longueur à gauche $G$ :

Pour le pli n°1 il n'y a pas de perte de longueur à gauche.

Pour le pli n°2 la perte de longueur à gauche vaut $2e$

Pour le n-ième pli $2^{n-1}$ segments perdent une longueur $2^{n-3}e$ donc la perte de longueur à gauche est $4^{n-2}e$

La perte totale de longueur à gauche après n plis vaut donc :
$$G=2e+\sum_{k=3}^n4^{k-2}e=\frac{4^{n-1}+2}{3}e$$
2) Perte totale de longueur à droite $D$ :

En considérant que la fibre moyenne conserve sa longueur :

Pour le n-ième pli $2^{n-1}$ segments de longueur initiale $2^{n-2} \pi e$ deviennent des demi-cercles donc la perte de longueur à droite est $\frac{4^{n-1} \pi e}{2}$

La perte de longueur à droite après n plis vaut donc :
$$D=\sum_{k=1}^n \frac{4^{k-1} \pi e}{2}=\frac{\pi (4^n-1)}{6}e$$
3) Longueur dans la zone quadrillée $Q$ :

On cherche la longueur minimale pour plier la feuille n fois.

Pour une telle longueur la partie quadrillée est de forme carrée au n-ième pli (elle disparait au prochain pli) de coté $2^ne$

La longueur dans la zone quadrillée est alors répartie sur $2^n$ segments et vaut donc :
$$Q=4^ne$$
Conclusion :
$$L=G+Q+D=\frac{4^{n-1}+2}{3}e+4^ne+\frac{\pi (4^n-1)}{6}e$$
Formule que l'on peut simplifier en :
$$\frac{L}{e}=\frac{\pi}{6}(2^n+4)(2^n-1)+\frac{4^{n-1}+2}{3}$$