Enigme Nombres serrés @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonjour à tous,
En attendant que Vasimolo reprenne son énoncé, une petite énigme d'arithmétique, pour changer.

On qualifie de serré un nombre n s'il existe a,b entiers naturels tels que a*b=n avec a <= b <= 2a.
Combien y a t'il de nombres serrés entre 1 et 1000 ?
Plus que 500 ?

On peut résoudre à la main pour une grosse part, même s'il n'y a pas de formule toute faite, enfin je n'en ai pas trouvée.

Pas de champ de validation, car comme je l'ai fait à la main, je ne suis pas certain de les avoir tous identifiés...

caduk · #2

Bonjour, une caractérisation possible est:
n admet un facteur compris entre [latex]\dfrac{\sqrt{n}}{2}[/latex] et [latex]\sqrt{n}[/latex]
Une première hypothèse, n est serré si il possède plus de 3 facteurs est fausse. (2x3x13)
Je n'ai pas beaucoup de temps en ce moment, mais j'essayerai de revenir.

enigmatus · #3

Bonjour,
Sauf erreur, j'en trouve 336.

nodgim · #4

Une réponse aussi rapide, Enigmatus, ça doit sans doute signifier qu'il y a un programme derrière ? Rapide, en tout cas !
J'en ai 9 de plus, mais ça ne veut rien dire, je l'ai fait à la main, et j'ai cherché les complémentaires, les nombres "larges".

Une liste ?

enigmatus · #5

Effectivement, ce n'est pas un travail manuel…
Voici ma liste, à comparer avec la tienne.

Code:

   1 :    1 =    1 x    1
   2 :    2 =    1 x    2
   3 :    4 =    2 x    2
   4 :    6 =    2 x    3
   5 :    8 =    2 x    4
   6 :    9 =    3 x    3
   7 :   12 =    3 x    4
   8 :   15 =    3 x    5
   9 :   16 =    4 x    4
  10 :   18 =    3 x    6
  11 :   20 =    4 x    5
  12 :   24 =    4 x    6
  13 :   25 =    5 x    5
  14 :   28 =    4 x    7
  15 :   30 =    5 x    6
  16 :   32 =    4 x    8
  17 :   35 =    5 x    7
  18 :   36 =    6 x    6
  19 :   40 =    5 x    8
  20 :   42 =    6 x    7
  21 :   45 =    5 x    9
  22 :   48 =    6 x    8
  23 :   49 =    7 x    7
  24 :   50 =    5 x   10
  25 :   54 =    6 x    9
  26 :   56 =    7 x    8
  27 :   60 =    6 x   10
  28 :   63 =    7 x    9
  29 :   64 =    8 x    8
  30 :   66 =    6 x   11
  31 :   70 =    7 x   10
  32 :   72 =    6 x   12
  33 :   77 =    7 x   11
  34 :   80 =    8 x   10
  35 :   81 =    9 x    9
  36 :   84 =    7 x   12
  37 :   88 =    8 x   11
  38 :   90 =    9 x   10
  39 :   91 =    7 x   13
  40 :   96 =    8 x   12
  41 :   98 =    7 x   14
  42 :   99 =    9 x   11
  43 :  100 =   10 x   10
  44 :  104 =    8 x   13
  45 :  108 =    9 x   12
  46 :  110 =   10 x   11
  47 :  112 =    8 x   14
  48 :  117 =    9 x   13
  49 :  120 =    8 x   15
  50 :  121 =   11 x   11
  51 :  126 =    9 x   14
  52 :  128 =    8 x   16
  53 :  130 =   10 x   13
  54 :  132 =   11 x   12
  55 :  135 =    9 x   15
  56 :  140 =   10 x   14
  57 :  143 =   11 x   13
  58 :  144 =    9 x   16
  59 :  150 =   10 x   15
  60 :  153 =    9 x   17
  61 :  154 =   11 x   14
  62 :  156 =   12 x   13
  63 :  160 =   10 x   16
  64 :  162 =    9 x   18
  65 :  165 =   11 x   15
  66 :  168 =   12 x   14
  67 :  169 =   13 x   13
  68 :  170 =   10 x   17
  69 :  176 =   11 x   16
  70 :  180 =   10 x   18
  71 :  182 =   13 x   14
  72 :  187 =   11 x   17
  73 :  190 =   10 x   19
  74 :  192 =   12 x   16
  75 :  195 =   13 x   15
  76 :  196 =   14 x   14
  77 :  198 =   11 x   18
  78 :  200 =   10 x   20
  79 :  204 =   12 x   17
  80 :  208 =   13 x   16
  81 :  209 =   11 x   19
  82 :  210 =   14 x   15
  83 :  216 =   12 x   18
  84 :  220 =   11 x   20
  85 :  221 =   13 x   17
  86 :  224 =   14 x   16
  87 :  225 =   15 x   15
  88 :  228 =   12 x   19
  89 :  231 =   11 x   21
  90 :  234 =   13 x   18
  91 :  238 =   14 x   17
  92 :  240 =   12 x   20
  93 :  242 =   11 x   22
  94 :  247 =   13 x   19
  95 :  252 =   12 x   21
  96 :  255 =   15 x   17
  97 :  256 =   16 x   16
  98 :  260 =   13 x   20
  99 :  264 =   12 x   22
 100 :  266 =   14 x   19
 101 :  270 =   15 x   18
 102 :  272 =   16 x   17
 103 :  273 =   13 x   21
 104 :  276 =   12 x   23
 105 :  280 =   14 x   20
 106 :  285 =   15 x   19
 107 :  286 =   13 x   22
 108 :  288 =   12 x   24
 109 :  289 =   17 x   17
 110 :  294 =   14 x   21
 111 :  299 =   13 x   23
 112 :  300 =   15 x   20
 113 :  304 =   16 x   19
 114 :  306 =   17 x   18
 115 :  308 =   14 x   22
 116 :  312 =   13 x   24
 117 :  315 =   15 x   21
 118 :  320 =   16 x   20
 119 :  322 =   14 x   23
 120 :  323 =   17 x   19
 121 :  324 =   18 x   18
 122 :  325 =   13 x   25
 123 :  330 =   15 x   22
 124 :  336 =   14 x   24
 125 :  338 =   13 x   26
 126 :  340 =   17 x   20
 127 :  342 =   18 x   19
 128 :  345 =   15 x   23
 129 :  350 =   14 x   25
 130 :  352 =   16 x   22
 131 :  357 =   17 x   21
 132 :  360 =   15 x   24
 133 :  361 =   19 x   19
 134 :  364 =   14 x   26
 135 :  368 =   16 x   23
 136 :  374 =   17 x   22
 137 :  375 =   15 x   25
 138 :  378 =   14 x   27
 139 :  380 =   19 x   20
 140 :  384 =   16 x   24
 141 :  390 =   15 x   26
 142 :  391 =   17 x   23
 143 :  392 =   14 x   28
 144 :  396 =   18 x   22
 145 :  399 =   19 x   21
 146 :  400 =   16 x   25
 147 :  405 =   15 x   27
 148 :  408 =   17 x   24
 149 :  414 =   18 x   23
 150 :  416 =   16 x   26
 151 :  418 =   19 x   22
 152 :  420 =   15 x   28
 153 :  425 =   17 x   25
 154 :  432 =   16 x   27
 155 :  435 =   15 x   29
 156 :  437 =   19 x   23
 157 :  440 =   20 x   22
 158 :  441 =   21 x   21
 159 :  442 =   17 x   26
 160 :  448 =   16 x   28
 161 :  450 =   15 x   30
 162 :  456 =   19 x   24
 163 :  459 =   17 x   27
 164 :  460 =   20 x   23
 165 :  462 =   21 x   22
 166 :  464 =   16 x   29
 167 :  468 =   18 x   26
 168 :  475 =   19 x   25
 169 :  476 =   17 x   28
 170 :  480 =   16 x   30
 171 :  483 =   21 x   23
 172 :  484 =   22 x   22
 173 :  486 =   18 x   27
 174 :  493 =   17 x   29
 175 :  494 =   19 x   26
 176 :  496 =   16 x   31
 177 :  500 =   20 x   25
 178 :  504 =   18 x   28
 179 :  506 =   22 x   23
 180 :  510 =   17 x   30
 181 :  512 =   16 x   32
 182 :  513 =   19 x   27
 183 :  520 =   20 x   26
 184 :  522 =   18 x   29
 185 :  525 =   21 x   25
 186 :  527 =   17 x   31
 187 :  528 =   22 x   24
 188 :  529 =   23 x   23
 189 :  532 =   19 x   28
 190 :  540 =   18 x   30
 191 :  544 =   17 x   32
 192 :  546 =   21 x   26
 193 :  550 =   22 x   25
 194 :  551 =   19 x   29
 195 :  552 =   23 x   24
 196 :  558 =   18 x   31
 197 :  560 =   20 x   28
 198 :  561 =   17 x   33
 199 :  567 =   21 x   27
 200 :  570 =   19 x   30
 201 :  572 =   22 x   26
 202 :  575 =   23 x   25
 203 :  576 =   18 x   32
 204 :  578 =   17 x   34
 205 :  580 =   20 x   29
 206 :  588 =   21 x   28
 207 :  589 =   19 x   31
 208 :  594 =   18 x   33
 209 :  598 =   23 x   26
 210 :  600 =   20 x   30
 211 :  608 =   19 x   32
 212 :  609 =   21 x   29
 213 :  612 =   18 x   34
 214 :  616 =   22 x   28
 215 :  620 =   20 x   31
 216 :  621 =   23 x   27
 217 :  624 =   24 x   26
 218 :  625 =   25 x   25
 219 :  627 =   19 x   33
 220 :  630 =   18 x   35
 221 :  638 =   22 x   29
 222 :  640 =   20 x   32
 223 :  644 =   23 x   28
 224 :  646 =   19 x   34
 225 :  648 =   18 x   36
 226 :  650 =   25 x   26
 227 :  651 =   21 x   31
 228 :  660 =   20 x   33
 229 :  665 =   19 x   35
 230 :  667 =   23 x   29
 231 :  672 =   21 x   32
 232 :  675 =   25 x   27
 233 :  676 =   26 x   26
 234 :  680 =   20 x   34
 235 :  682 =   22 x   31
 236 :  684 =   19 x   36
 237 :  690 =   23 x   30
 238 :  693 =   21 x   33
 239 :  696 =   24 x   29
 240 :  700 =   20 x   35
 241 :  702 =   26 x   27
 242 :  703 =   19 x   37
 243 :  704 =   22 x   32
 244 :  713 =   23 x   31
 245 :  714 =   21 x   34
 246 :  720 =   20 x   36
 247 :  722 =   19 x   38
 248 :  725 =   25 x   29
 249 :  726 =   22 x   33
 250 :  728 =   26 x   28
 251 :  729 =   27 x   27
 252 :  735 =   21 x   35
 253 :  736 =   23 x   32
 254 :  740 =   20 x   37
 255 :  744 =   24 x   31
 256 :  748 =   22 x   34
 257 :  750 =   25 x   30
 258 :  754 =   26 x   29
 259 :  756 =   21 x   36
 260 :  759 =   23 x   33
 261 :  760 =   20 x   38
 262 :  768 =   24 x   32
 263 :  770 =   22 x   35
 264 :  775 =   25 x   31
 265 :  777 =   21 x   37
 266 :  780 =   20 x   39
 267 :  782 =   23 x   34
 268 :  783 =   27 x   29
 269 :  784 =   28 x   28
 270 :  792 =   22 x   36
 271 :  798 =   21 x   38
 272 :  800 =   20 x   40
 273 :  805 =   23 x   35
 274 :  806 =   26 x   31
 275 :  810 =   27 x   30
 276 :  812 =   28 x   29
 277 :  814 =   22 x   37
 278 :  816 =   24 x   34
 279 :  819 =   21 x   39
 280 :  825 =   25 x   33
 281 :  828 =   23 x   36
 282 :  832 =   26 x   32
 283 :  836 =   22 x   38
 284 :  837 =   27 x   31
 285 :  840 =   21 x   40
 286 :  841 =   29 x   29
 287 :  850 =   25 x   34
 288 :  851 =   23 x   37
 289 :  858 =   22 x   39
 290 :  861 =   21 x   41
 291 :  864 =   24 x   36
 292 :  868 =   28 x   31
 293 :  870 =   29 x   30
 294 :  874 =   23 x   38
 295 :  875 =   25 x   35
 296 :  880 =   22 x   40
 297 :  882 =   21 x   42
 298 :  884 =   26 x   34
 299 :  888 =   24 x   37
 300 :  891 =   27 x   33
 301 :  896 =   28 x   32
 302 :  897 =   23 x   39
 303 :  899 =   29 x   31
 304 :  900 =   25 x   36
 305 :  902 =   22 x   41
 306 :  910 =   26 x   35
 307 :  912 =   24 x   38
 308 :  918 =   27 x   34
 309 :  920 =   23 x   40
 310 :  924 =   22 x   42
 311 :  925 =   25 x   37
 312 :  928 =   29 x   32
 313 :  930 =   30 x   31
 314 :  936 =   24 x   39
 315 :  943 =   23 x   41
 316 :  945 =   27 x   35
 317 :  946 =   22 x   43
 318 :  950 =   25 x   38
 319 :  952 =   28 x   34
 320 :  957 =   29 x   33
 321 :  960 =   24 x   40
 322 :  961 =   31 x   31
 323 :  962 =   26 x   37
 324 :  966 =   23 x   42
 325 :  968 =   22 x   44
 326 :  972 =   27 x   36
 327 :  975 =   25 x   39
 328 :  980 =   28 x   35
 329 :  984 =   24 x   41
 330 :  986 =   29 x   34
 331 :  988 =   26 x   38
 332 :  989 =   23 x   43
 333 :  990 =   30 x   33
 334 :  992 =   31 x   32
 335 :  999 =   27 x   37
 336 : 1000 =   25 x   40

gwen27 · #6

Il y en a 336.

Un des facteurs est inférieur ou égal à 31

Donc
1 x 1
2 x 1
2 x 2
2 x 3
2 x 4
3 x 3
....
3 x 6
....
31 x 31
31 x 32

On s'arrète quand on dépasse 1000 (à 23 x 44 , on ne s'obstine pas... ) . Reste juste à trier quelques doublons.

1
2
4
6
8
9
12
15
16
18
20
24
25
28
30
32
35
36
40
42
45
48
49
50
54
56
60
63
64
66
70
72
77
80
81
84
88
90
91
96
98
99
100
104
108
110
112
117
120
121
126
128
130
132
135
140
143
144
150
153
154
156
160
162
165
168
169
170
176
180
182
187
190
192
195
196
198
200
204
208
209
210
216
220
221
224
225
228
231
234
238
240
242
247
252
255
256
260
264
266
270
272
273
276
280
285
286
288
289
294
299
300
304
306
308
312
315
320
322
323
324
325
330
336
338
340
342
345
350
352
357
360
361
364
368
374
375
378
380
384
390
391
392
396
399
400
405
408
414
416
418
420
425
432
435
437
440
441
442
448
450
456
459
460
462
464
468
475
476
480
483
484
486
493
494
496
500
504
506
510
512
513
520
522
525
527
528
529
532
540
544
546
550
551
552
558
560
561
567
570
572
575
576
578
580
588
589
594
598
600
608
609
612
616
620
621
624
625
627
630
638
640
644
646
648
650
651
660
665
667
672
675
676
680
682
684
690
693
696
700
702
703
704
713
714
720
722
725
726
728
729
735
736
740
744
748
750
754
756
759
760
768
770
775
777
780
782
783
784
792
798
800
805
806
810
812
814
816
819
825
828
832
836
837
840
841
850
851
858
861
864
868
870
874
875
880
882
884
888
891
896
897
899
900
902
910
912
918
920
924
925
928
930
936
943
945
946
950
952
957
960
961
962
966
968
972
975
980
984
986
988
989
990
992
999
1000

dhrm77 · #7

quand tu met " b=<2a ", veux tu dire " b <= 2a " ?

aussi, entre 1 et 1000, avec 1 et 1000 inclus ou exclus?

dhrm77 · #8

En supposant 1 et 1000 inclus:
Si b < 2a, on en trouve 319
Si b <=2a,on en trouve 336

Tu veux la liste?

nodgim · #9

Merci pour vos réponses, toutes identiques, à Enigmatus, Gwen, Dhrm.

Il est remarquable de constater qu'on est très proche du 1/3. Est ce un hasard ou une loi ?
Puisque les algos sont faits, il ne devrait pas être trop difficile d'avoir les valeurs pour 2000, 3000, 4000, 5000, 10 000 par exemple, pour voir si la tendance se confirme.

Merci d'avance à vous.

enigmatus · #10

Code:

Édité : Il manquait 3000

nodgim · #11

Merci Enigmatus.

On constate que le ratio baisse régulièrement, de 0.336 à 0,293. Enfin, pas linéairement, mais logarithmiquement. Je ne peux pas croire que ce ratio tende vers zéro, ça n'aurait pas de sens. Il y a donc une limite.

Si ce n'est pas abuser, peux tu donner les valeurs des dizaines de milliers, puis des centaines de milliers jusqu'à 1 million ?

enigmatus · #12

Voici la suite du #10 :

Code:

  20000   5688
  30000   8398
  40000  11084
  50000  13751
  60000  16401
  70000  19032
  80000  21649
  90000  24271
 100000  26870
 200000  52656
 300000  78142
 400000 103408
 500000 128500
 600000 153499
 700000 178435
 800000 203276
 900000 228064
1000000 252756

Sydre · #13

Salut,

De mon coté j'ai la formule suivante pour le nombre de serrés entre [latex]1[/latex] et [latex]N[/latex] :
[TeX]\lfloor\sqrt{\frac{N}{2}}\rfloor^2+\lfloor\sqrt{\frac{N}{2}}\rfloor+\frac{\lfloor\sqrt{N}\rfloor-\lfloor\sqrt{N}\rfloor^2}{2}+\sum_{k=\lfloor\sqrt{\frac{N}{2}}\rfloor+1}^{\lfloor\sqrt{N}\rfloor}\lfloor\frac{N}{k}\rfloor[/TeX]
Qui donne [latex]374[/latex] serrés entre [latex]1[/latex] et [latex]1000[/latex]

J'ai vérifié rapidement à la main jusqu'à [latex]100[/latex] et je n'arrive pas à la mettre en défaut, je suis pas convaincu par votre [latex]336[/latex] du coup

dhrm77 · #14

Peut-etre voulais tu des résultats sur une echelle logarithmique:
1 : 1
10 : 6
100 : 43
1000 : 336
10000 : 2932
100000 : 26870
1000000 : 252756
10000000 : 2409731
100000000 : 23169860
1000000000 : 224059958
Si on represente ces nombres sur un graph, ca tend vers un nombre proche de 20% (donc assez loin de 1/3)

nodgim · #15

Merci Enigmatus et Dhrm pour le précieux complément de renseignements.

Je ne pense plus maintenant, Dhrm, que le ratio tende vers une valeur finie, mais bien très lentement vers zéro. C'est absolument contre intuitif au 1er abord, il y a peut être une explication à la clé, que je ne désespère pas de trouver.

@Sydre: fais confiance au 336. J'avais trouvé plus, mais par défaut (en comptant ceux qui ne sont pas serrés) et depuis je les ai presque tous retrouvés (340 max).
La très grosse majorité des nombres larges (non serrés) sont ceux dont l'un des facteurs premiers est plus gros que le double du produit de tous les autres réunis (par exemple 2*2*3*29), et ceux là, on les compte assez vite. Sur les 1000, il y en a 624 comme ça. Le reste (40), ce sont des nombres dont le facteur premier le plus fort est plus petit que le produit de tous les autres, par exemple 3*11*11*13. Ils sont plus difficiles à trouver.

Sydre · #16

@dhrm77 annonce [latex]43[/latex] serrés entre [latex]1[/latex] et [latex]100[/latex] et pourtant il y en a [latex]44[/latex] :

1, 2, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 18, 16, 20, 24, 28, 32, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 64, 72, 80, 88, 96, 81, 90, 99, 100

Sinon voilà comment j’obtiens ma formule :

Les serrés engendrés par [latex]a[/latex] sont : [latex]a^2,\, a(a+1),\, a(a+2),\, ...,\, 2a^2[/latex]

On en dénombre donc [latex]a+1[/latex]

Maintenant si on considère une limite supérieure [latex]N[/latex] il faut chercher la valeur limite de l'incrément :
[TeX]a(a+x)=N \, \Leftrightarrow \, x=\frac{N}{a}-a[/TeX]
Puis s'intéresser au signe de [latex]x-a=\frac{N}{a}-2a[/latex] :

Si [latex]\frac{N}{a}-2a \geq 0 \, \Leftrightarrow \, a \leq \sqrt{\frac{N}{2}}[/latex] alors on compte [latex]a+1[/latex] serrés engendrés par [latex]a[/latex] dans l'intervalle.

Si [latex]\frac{N}{a}-2a < 0 \, \Leftrightarrow \, a > \sqrt{\frac{N}{2}}[/latex] alors on compte [latex]\lfloor x \rfloor + 1[/latex] serrés engendrés par [latex]a[/latex] dans l'intervalle.

D'autre part les derniers serrés dans l'intervalle sont engendrés par [latex]\lfloor \sqrt{N} \rfloor[/latex]

Le nombre total de serrés dans l'intervalle est donc :
[TeX]\sum_{k=1}^{\lfloor \sqrt{\frac{N}{2}} \rfloor}(k+1)+\sum_{k=\lfloor \sqrt{\frac{N}{2}} \rfloor + 1}^{\lfloor \sqrt{N} \rfloor}(\lfloor \frac{N}{k}-k\rfloor+1)[/TeX]
Formule qui se simplifie en celle que j'ai donné plus haut.

nodgim · #17

@Sydre: doublon pour 72.
Je m'y attendais un peu, vu que ta liste n'est pas ordonnée. C'est ta formule, que je n'ai pas vraiment analysée, qui produit ce doublon.

dhrm77 · #18

nodgim a écrit:
Merci Enigmatus et Dhrm pour le précieux complément de renseignements.

De rien...

nodgim a écrit:
Je ne pense plus maintenant, Dhrm, que le ratio tende vers une valeur finie, mais bien très lentement vers zéro. C'est absolument contre intuitif au 1er abord, il y a peut être une explication à la clé, que je ne désespère pas de trouver.

Note que zéro est une valeur finie.

Ceci dit, oui il est difficile de savoir ou ca tend, avec seulement 8 ou 9 elements on voit 20%, mais on est loin de l'infini.. et il est possible que ca tende vers une valeur proche de zéro, extremement lentement.
C'est surprenant parce que on sait que quand on va vers l'infini, il y a de moins en moins de nombres premiers, donc de plus en plus de nombres composés. donc on peut penser qu'il y a plus de chance d'avoir un facteur entre sqrt(n) et sqrt(n/2). Peut etre que il y a plus de facteurs mais ces facteurs ont plus de chance d'etre plus petit que sqrt(n/2).
J'ai essayer de projeter la courbe, en essayant de trouver une équation qui soit proche de la courbe réelle, et dans certains cas le pourcentage remonte, mais ca ne veut rien dire, sauf que je n'arrive pas a modeler la courbe correctement.

Agid1915 · #19

Voila exactement le type d`enigme mathematique qui devrait etre encourage.
On resoud un "petit" probleme pour deboucher sur une formule utile et des questions ouvertes.

nodgim · #20

Bon, je crois avoir la preuve que la densité des nombres serrés est nulle dans N. C'est assez simple à prouver au fond. Je vous laisse y réfléchir quelque temps encore.

nodgim · #21

Et bien voila la preuve promise.
J'espère que ce n'est pas un sophisme.

En partant du principe de l'unicité de la décomposition d'un entier en nombre premiers, on peut lister tous les entiers de N de cette façon : A partir d'un nombre n, de génération g (g est le nombre de nombres premiers de la décomposition de n; si un nombre premier est présent k fois, ça compte pour k nombres premiers) on construit la génération g+1 (des fils) en ajoutant dans la décomposition un seul nombre premier, le plus petit ajouté étant le plus grand premier de n. Par exemple à partir de 10 (génération 2) on construit une infinité de nombres de la génération 3 qui sont: 2*5*5, 2*5*7, 2*5*11, 2*5*13,....Cette façon de procéder garantit qu'il n'y a pas de doublons. Chaque entier génére une infinité de fils différents de tout autre entier de même génération.
Les nombres premiers (1ère génération) se construisent en partant de 1: 1*1 (particularité du 1), 1*2, 1*3, 1*5, 1*7,....
Or dans l'ensemble des fils d'un entier, il n'existe qu'un nombre restreint de nombres serrés, alors qu'il y a toujours un nombre infini de nombres larges : dès que le facteur premier ajouté dépasse le double de l'entier père, alors c'est un nombre large. Ainsi, quel que soit l'entier de départ, parmi les fils, la densité des nombre serrés est toujours nulle. Comme cette densité est nulle dans chaque famille, elle l'est forcément également dans l'ensemble N.

CQFD

dhrm77 · #22

Je crois effectivement que cette preuve doit marcher.
C'est assez difficile à saisir puisque chaque generation est infiniment plus large que la precedente. Mais ca permet effectivement de voir la progression vers 0.
Tres bien. Bravo.

Agid1915 · #23

Parfois certaines choses surgissent des abîmes comme par miracle.
Celui qui a la formule exacte du nombre de "nombres serres" (je dis bien EXACTE) <= a n detient la fonction de comptage des nombres premiers la plus exacte jusqu`a aujourd`hui.
Fantastique!

Ebichu · #24

Désolé de n'intervenir ici que de manière destructive, mais la toute dernière phrase de nodgim me laisse sceptique ; voici un contre-exemple.

On définit les familles suivantes : A_i = { i * 2^n, n>=0 } où i est un nombre impair >=1. La réunion des A_i vaut N (tout entier s'écrivant impair * puissance de 2). La densité des impairs dans chaque A_i est nulle (car il n'y a qu'un impair par A_i), pourtant, la densité des impairs dans N vaut 1/2.

Agid1915 · #25

Prenez un bout de papier ecrivez les nombres de 1 a 100 et sur un autre les nombres de 101 a 200. Comptez vos nombres serres sur les 2 listes et analyser comment le differentiel s`explique. Que se passe-t-il quand on double le nombre de 100 a 200, ou de 1000 a 2000.
Vous comprendrez la mecanique plus aisement.

1,2,3,5,6,7,8,9,10
doublons
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20
il y a des doublons (2,4,6,8,10)
et bien sur les impairs se rajoutent 11,13,15,17,19

Nodgim a raison meme si sa preuve n`est pas solide. Ca tend vers 0.
La raison vous la trouverez dans la mecanique ci-dessus.

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#1 - 21-09-2016 18:13:20

npmbres serrés

#0 Pub

#2 - 21-09-2016 18:40:15

Nombres esrrés

#3 - 21-09-2016 19:13:14

Nombres serréss

#4 - 21-09-2016 19:39:34

nomvres serrés

#5 - 21-09-2016 20:15:25

Nombres serrrés

Code:

#6 - 21-09-2016 20:41:25

nombres srrrés

#7 - 21-09-2016 22:39:00

Nombres serés

#8 - 21-09-2016 23:22:11

nombees serrés

#9 - 22-09-2016 07:56:07

Nombrres serrés

#10 - 22-09-2016 08:52:14

nombres sereés

Code:

#11 - 22-09-2016 10:00:53

Noombres serrés

#12 - 22-09-2016 18:20:39

nombres qerrés

Code:

#13 - 22-09-2016 21:55:21

nombres szrrés

#14 - 22-09-2016 23:57:59

nombres serréq

#15 - 23-09-2016 08:57:36

nombtes serrés

#16 - 23-09-2016 10:48:05

Nomres serrés

#17 - 23-09-2016 13:00:05

oNmbres serrés

#18 - 23-09-2016 13:19:32

Nombres serrrés

nodgim a écrit:

nodgim a écrit:

#19 - 23-09-2016 15:11:28

Nombres esrrés

#20 - 25-09-2016 16:32:15

NNombres serrés

#21 - 26-09-2016 10:29:19

Nomres serrés

#22 - 26-09-2016 12:49:56

Nombres serrs

#23 - 26-09-2016 16:55:59

ombres serrés

#24 - 26-09-2016 19:57:23

Nombrs serrés

#25 - 27-09-2016 04:16:37

Nombers serrés

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