nodgim a écrit:

J'espère que tu comprends bien qu'entre les nombres décimaux et les nombres réels, il y a tout de même une différence. Et bien c'est de cette différence là qu'on parle.

Et entre les deux , y-a-t-il du monde

Vasimolo

PS : J'aime beaucoup ces histoires d'infinis mais c'est assez pointu car ça relève directement des axiomatiques et des logiques mathématiques : c'est un poil borderline sur un site d'énigmes .

c'est un poil borderline sur un site d'énigmes

La notion d'infinis apporte plein d'énoncés qui peuvent sembler paradoxaux, par exemple, ce sujet, mais aussi d'autres tel le théorème de Banach Tarski, le théorème de Riemann sur les séries semi-convergentes...
Il y a bien sûr de nombreux autres exemples beaucoup plus simples...
Mais les problèmes que cela apporte son justement propice à des énigmes de par leur caractère paradoxal.

Vasimolo, tel un spécialiste des coniques, tu manies l'hyperbole : il n'y a pas besoin de l'hypothèse du continu ici. Seules des considérations élémentaires sont nécessaires :
* la définition d'un ensemble dénombrable, ce qui n'utilise que la notion de bijection.
* le théorème qui dit qu'une réunion d'ensembles dénombrables est dénombrable, théorème classique dont la démonstration est simple.

Il ne me paraît pas choquant de proposer une énigme qui demande ce prérequis. Le contexte théorique nécessaire est vieux maintenant d'un siècle et demi, et si l'on s'interdit les mathématiques aussi "récentes", il va falloir se débarrasser de beaucoup de notions intéressantes. Par ailleurs, ça ressemble bien plus à une énigme qu'à un exercice de cours : la difficulté est plus dans l'astuce qu'il faut voir que dans les notions à maîtriser. Bref, je trouve que cette énigme a sa place sur ce forum.

nodgim a écrit:

Profitons de ce sujet pour poser une question.

Soit un segment de 1 mètre.
A un 1er passage, je marque les décimètres.
A un second passage je marque les centimètres.
A un k ième passage je marque les 1/10^k mètres.

Si on suppose cette opération finie après une infinité de passages, aurais je marqué :
-Les nombres décimaux ?
-Les nombres réels ?

Bon, Vasimolo a plus ou moins répondu.

La "fin" de l'opération, qui est une pure vue de l'esprit, est bien le remplissage du segment par les nombres réels.
Ceci mérite une précision.
Quand on fait une marque, on peut lui associer un nombre décimal : 0,315 est la marque créée après le 3ème passage. Au 4ème passage, la marque correspond à  0,3150, au 5ème passage 0,31500, etc...Les marques correspondent donc bien à des nombres décimaux. Ce qui est remarquable, c'est qu'en analysant pas à pas les différents passages, on a toujours des nombres décimaux, avec certes de plus en plus de chiffres, mais jamais avec une infinité de chiffres.
Pour imaginer de tels nombres, on est obligé de faire un saut imaginaire dans l'infini. Il n'y a pas de transition entre le fini qui croît indéfiniment et l'infini.

Je trouve, avec du recul, que c'est un abus de langage, quand on aborde les notions de limite au Lycée, de dire " x tend vers l'infini". x est une variable donnée, à laquelle, pour donner du sens à la fonction associée, on doit toujours lui donner une valeur. x peut prendre des valeurs aussi grandes qu'on veut, mais ne peut en aucun cas approcher l'infini. C'est comme si on confondait une voie ferrée de longueur infinie (et une origine) et les traverses qui la composent. Aucune traverse ne peut approcher l'infini, seule la position par rapport à l'origine à une signification.

C'est ton interprétation du problème , moi je considère que 0,a1a2a3... fait aussi partie des points que l'on peut atteindre . Tu interprètes le problème selon les modèles que tu as l'habitude d'utiliser mais moi je fais ce que je veux si on ne précise rien .

On a vu ici et ailleurs des tas de problèmes où l'on choisit un entier au hasard ou l'on fait la somme de nombres qui ne sont pas sommables , ... et après on fait semblant d'être surpris du résultat .

Dès qu'on touche à l'infini , il faut être précis , sinon c'est sans fin

Vasimolo

Je vois bien que le problème posé n'est pas complet. Néanmoins, les mathématiciens ont souvent du s'attaquer à des problèmes de ce genre, posé de manière physique, et ont dû le poser mathématiquement avant de le résoudre.

Dans la grosse majorité des cas, le modèle utilisé est celui que j'ai présenté, à savoir que le total des traits dessinés est l'union des traits dessinés à chaque étape. On voit par exemple souvent ce genre de formulation en probabilités.

la fin du marquage ne peut être envisagée qu'avec des réels

Ici, tu sembles dire que quelque soit l'interprétation du problème, on trouve les réels, ce avec quoi je n'était pas d'accord puisque le modèle généralement utilisé en mathématiques (et qui donne des résultats parfaitement cohérent "physiquement parlant") ne donne pas ce résultat.

Tu sembles considérer que quand on regarde le comportement à l'infini, on doit inclure la limite, si elle existe. Quand on étudie une fonction, on peut étudier le comportement asymptotique et dire "cette fonction admet une limite l..." en revanche, on n'écrit quasiment jamais f(+oo) = l. Ici, dans ma formalisation, on peut étudier le comportement asymptotique et dire que comme D est dense dans R, les traits se rapprochent de tout réel. En revanche, cette limite n'est jamais atteinte... (A moins d'avoir précisément dit que l'on incluait la limite dans le résultat, ce qui est très rare...).

Après réflexion il semble bien que l'approche de Caduk est la plus naturelle , en précisant qu'on ne finira jamais la graduation et qu'elle continuera indéfiniment . On ne construit que des nombres décimaux donc toutes les graduations sont contenues dans l'ensemble des décimaux et le problème est clos . Si on veut quand même voir ce qui se passe à l'infini , on peut remarquer qu'on construit des ensembles de plus en plus grands avec 1 , 2 , 3 , ... chiffres après la virgule , la limite "naturelle" de ces ensembles est leur réunion . On peut tout de même se placer dans un cadre topologique ( métrique ) et dire que le réel [latex]x[/latex] est atteint par la somme dénombrable : [latex]\displaystyle{x=\sum_{n=0}^\infty a_n10^{-n}}[/latex] ( il y a vraiment égalité ) mais ce cadre est moins naturel .

Vasimolo

Je résume ici les propriétés de cette opération de marquage.

N'hésitez pas à compléter ou corriger.

Sur l'opération marquage proprement dite :

1) Les marques sont faites l'une après l'autre, on peut les numéroter.

2) A la fin d'un passage, on peut en recommencer un autre.

3) Quand on a commencé un passage (coté 0 du segment), on peut le finir (coté 1 du segment).

4) D'après 2) et 3) Le nombre de passages est infini.

5) D'après 1) 2) 3) 4), les marques peuvent mises en bijection avec N ( le 0 est ici inutile)

Sur le résultat de l'opération marquage:

6) Comme les marques sont en quantité infinie, la distance entre 2 marques voisines est 1/ inf = 0

7) Toute marque correspond à un nombre décimal, le cardinal des chiffres de ce nombre est égal à l'ordinal du passage qui l'a créé.

8) Il existe une différence non nulle entre 2 nombres décimaux.

9) On ne peut pas définir la marque qui se trouve immédiatement après une marque donnée, car on peut insérer une infinité de marques entre 2 marques.

10) Une fin à l'opération marquage suppose qu'on doit pouvoir repérer toutes les marques de 0 à 1 dans l'ordre.

11) les points 9) et 10) étant incompatibles, l'opération marquage n'a pas de fin.

L'opération n'a pas de fin surtout parce qu'il y a un nombre infini d'étapes...

Non, ce n'est pas parce qu'à chaque étape tu trouves un réel que tu vas pouvoir en trouver un nombre indénombrable... et le fait que ce soit des réels ne changent rien.
Effectivement, tu vas pouvoir répéter ton opération un nombre infini de fois, mais ça prouve juste que tu peux construire une infinité de cercles (mais qui peut être dénombrable)
D'ailleurs, on peut énumérer tes étapes, ce qui fait qu'elles sont en nombre dénombrable...
La démo donnée par Ebichu est correcte sur les "infinis".

Non tu montres qu'à chaque fois, tu peux trouver un réel entre 0 et 1 et lui associer un cercle, mais tu ne trouves pas un cercle pour chaque réel entre 0 et 1 (seulement pour ceux que tu as trouvé...)

On peut trouver epsilon aussi petit que nécessaire pour tracer une construction à cette endroit avec un rayon epsilon.

Non, pas forcément. Il y a une infinité dénombrables d'infinis déjà tracés, ce qui fait qu'il est possible que cet ensemble d'infinis empêche la construction à cet endroit.

Dans le même genre, si tu considères la droite réelle, et si tu coches tous les points rationnels sur la droite, alors tu pourras certes trouver un point qui n'est pas encore coché (un irrationnel), mais tu ne pourras trouver aucun epsilon >0 qui te permette de tracer un segment vierge de largeur epsilon autour de ce point irrationnel.

Ok, mais à la fois sur tout l'axe des ordonnées et sur tout l'axe des abscisses ?

Pourquoi pas ? Q², c'est-à-dire l'ensemble des points de coordonnées (x;y) où x et y sont des rationnels est dense dans le plan. On pourrait tout à fait imaginer la même chose avec des infinis.

si tu retires une infinité dénombrables de cas qui ne marchent pas à une infinité indénombrable, il te reste une infinité indénombrable.

Mais l'infinité indénombrable de cas dont tu parles ne sont pas compatibles entre eux : il y a certains des infinis que tu imagines qui se chevauchent.