@nodgim : bravo ! Il y avait moyen de finasser, la preuve dont je dispose est nettement plus compacte, mais l'essentiel c'est d'aboutir.

Félicitations ! Très jolie méthode de dénombrement, et très efficace

enigmatus a présenté une solution qui ne nécessite que 4 calculs pas trop compliqués.

Bien sûr, je rajoute du temps.

@nobodydy : je n'y avais même pas pensé, bravo

J'ai quand même fini par en venir à bout

Je n'ai pas trouvé d'astuce combinatoire , je me suis rabattu sur les probabilités en choisissant au hasard une paire sur chaque ligne :



C'est "un peu" lourd , on doit pouvoir faire plus simple .

Vasimolo

C'est terminé, merci à tous les participants.

Voici ma façon de voir les choses. On remplit les colonnes une par une, de gauche à droite, de toutes les façons possibles.

Pour la première colonne, il y a [latex]\binom{6}{2}=15[/latex] façons de procéder. Puis il faut maintenant remplir 5 colonnes, de sorte que 2 des lignes contiennent 1 pépite, et 4 des lignes contiennent 2 pépites. Pour remplir la 2e colonne, il faut donc distinguer 3 cas :
* les 2 pépites de la colonne tombent chacune sur une des 2 lignes où 1 pépite manque (1 façon de procéder).
* les 2 pépites de la colonne tombent l'une sur une des 2 lignes où 1 pépite manque, l'autre sur une des 4 lignes où 2 pépites manque (2*4=8 façons de procéder).
* les 2 pépites de la colonne tombent chacune sur une des 4 lignes où 2 pépites manque ([latex]\binom{4}{2}=6[/latex] façons de procéder).

Il faut ensuite continuer récursivement le procéder. Pour généraliser, appelons [a,b] le nombre de façons de remplir un rectangle où a représente le nombre de lignes où 1 pépite manque, et b le nombre de lignes où 2 pépites manquent.
Le nombre de lignes du rectangles est alors (a+b), tandis qu'il comporte (a+2b)/2 colonnes.

Le raisonnement ci-dessus se généralise par la relation [latex][a,b]=\binom{a}{2}[a-2,b]+\binom{a}{1}\binom{b}{1}[a,b-1]+\binom{b}{2}[a+2,b-2][/latex], soit [latex][a,b]=a(a-1)/2[a-2,b]+ab[a,b-1]+b(b-1)/2[a+2,b-2][/latex].

On recherche dans ce problème la valeur de [0,6], et on peut l'obtenir à l'aide du tableau suivant.



On initialise [0,0] à 1, puis on remplit le tableau de haut en bas, puis de gauche à droite. En bas à droite, j'ai indiqué comment remplir une case à partir de 3 cases précédentes (ou moins si on est près du bord du tableau). Par exemple, pour la case [2,4], on fait 2(2-1)/2[0,4]+2*4[2,3]+4(4-1)/2[4,2]=1*90+8*204+6*468=4530.

La solution était donc 67950, bravo à ceux qui ont trouvé. Comme observé par nobodydy, OEIS connaissait...

En question bonus, en généralisant ce raisonnement, j'arrive à calculer le nombre de façons de remplir une grille 9x9 de sorte que chaque ligne et chaque colonne contienne exactement 3 pépites, mais comme cela représente plusieurs dizaines de calculs, j'ai eu recours à un programme. On doit trouver un nombre à 14 chiffres ne comportant ni 3 ni 4, et OEIS le connaît.