Salut Ebichu.

Ce que tu observes avec ton tableur me semble à priori parfaitement juste. Donc ça tend vers l'infini (ce qui a peu d'intérêt). Mais si tu as raison, ça tend vers pi*racine(m). Du coup, que vient foutre Pi là dedans? On a une expérience de chocs, un phénomène plutôt discontinu, et pi ramène ça fraise?

Reste donc à démontré que ton résultat empirique est juste, et expliquer pourquoi Pi s'en mêle...

PS: Quels paramètres (ou équations) as-tu rentrés dans ton tableur pour trouver si vite, et déduire cette valeur empirique? Chapeau en tout cas...

Bonne direction! Les complexes aident bien effectivement. Et quand i est là, Pi n'est jamais très loin :-)

On oriente le repère en direction du mur. Soient [latex]v_n[/latex] et [latex]V_n[/latex] les vitesses des solides (a) et (b) respectivement après la n-ième collision b|a. À partir des lois des chocs élastiques, on obtient les relations :

* [latex] v_0 = 0 [/latex] et [latex] V_0 = 1 [/latex] (on choisit 1 pour la vitesse initiale, de toute façon avec une autre vitesse les résultats seraient proportionnels).
* [latex]v_{n+1}=\frac{m-1}{m+1}v_n+\frac{2m}{m+1}V_n[/latex]
* [latex]V_{n+1}=\frac{-2}{m+1}v_n+\frac{m-1}{m+1}V_n[/latex]

Relations que l'on peut placer dans un tableur pour calculer les termes de ces deux suites. Faisons un peu de physique : qu'observe-t-on ? Dans une première phase, le solide le plus massif perd progressivement de la vitesse tandis que la vitesse du petit solide augmente. Puis le solide le plus massif est renvoyé dans l'autre direction ; le petit continue de rebondir en perdant progressivement de la vitesse qu'il transfère à l'autre, jusqu'à ce que sa vitesse devienne trop faible pour qu'il le rattrape.

Retour aux maths. Après avoir calculé les premiers termes de ces deux suites et constaté l'apparition de coefficients binomiaux aux numérateurs, on démontre par récurrence que :
* [latex]v_n = \frac{\sqrt{m}.Im((\sqrt{m}+i)^{2n})}{(m+1)^n}[/latex]
* [latex]V_n = \frac{Re((\sqrt{m}+i)^{2n})}{(m+1)^n}[/latex]

Dans le plan complexe, le vecteur de coordonnées [latex]V_n + i\frac{v_n}{\sqrt{m}}[/latex] vaut donc [latex]\left(\frac{(\sqrt{m}+i)^2}{m+1}\right)^n[/latex]. Ce vecteur unitaire est initialement dirigé vers la droite. Au fur et à mesure des collisions, il va tourner vers le haut, puis vers la gauche ; quand le vecteur est dirigé vers le haut, le gros solide change de sens, puis quand le vecteur est dirigé vers la gauche, le gros solide s'échappe.

Si on appelle N le nombre de collisions nécessaires pour que le solide (b) s'échappe, en n'oubliant pas qu'il y a deux collisions à chaque fois que l'indice des suites s'incrémente (entre les solides, et avec le mur), on obtient la relation :

[latex]\frac{N}{2}.2\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{m}}\right)\simeq\pi[/latex] soit [latex]N\simeq\pi\sqrt{m}[/latex].

Ebichu,

En synthèse, j’ai appliqué quasi la même approche que toi.

Juste posé Wn = vn + a.Vn, en cherchant une Wn géométrique.
On trouve vite que a = i√m convient.
La raison est (m-1)/(m+1)-2√m/(m+1).i
soit exp(-iϴ) avec ϴ=Arctan(2√m/(m-1))

Du coup Wn = i√m.exp(-inϴ) = √m.Sin(nϴ) + i√m.Cos(nϴ)
D’où (si V0=1)
vn = √m.Sin(nϴ)
Vn = Cos(nϴ)


On voit bien le phénomène que tu décris parfaitement dans ton post. Ce côté ‘circulaire’ de la progression des vitesses. Lié à la conservation de l’Ec (vn²+mVn²=1).

Et la condition de fin - |vn/Vn|<1 – conduit à √m.Tan(nϴ) > -1, puis à N ~ Pi. √m.
Ou N ~ Pi*10^p quand m = 100^p.

Ce qui donne à minima les (p-1) premières décimales de Pi si on tient compte des taux d’approximation, et qui reste super étonnant je trouve.

La vidéo très bien faite, très visuelle et qui explique bien le phénomène, est ici :
https://www.youtube.com/watch?v=jsYwFizhncE

Je suis vraiment impressionné, mais tout n'est-il pas dans pi ?
Voir: https://sciencetonnante.wordpress.com/2 … t-dans-pi/
J'avais bien compris le problème, mais je me suis emmêlé les
crayons rapidement dans les calculs: j'étais loin de pi.

@Vasimolo : tu es trop multi-site omni-canal… du coup plus de surprise 😉
@Franky103 : Bah oui tout est dans Pi. Et réciproquement. Je m’en suis rendu compte juste après mon 3,14ième mariage.