Enigme Duels entre gentlemen 1 @ Prise2Tete

TOUFAU · #1

Bonjour,

Un petit problème orienté tuerie. En plusieurs parties.
Je ne soumets que la première pour commencer (pas trop dur, pour ne pas se fatiguer d’entrée)

Nous sommes au milieu du 18ème siècle. Dans « Barry Lyndon » plus précisément. Barry affronte Quin en duel. Pour une sombre histoire de fesses, comme souvent.
Aux temps de la fastueuse société anglaise, l’élégance fait loi. On ne s’entretue pas dans le bazar, genre celui qui tire le plus vite a gagné. Non, là c’est clean, on commence par un tirage au sort, et le gagnant tirera en premier. Puis l’autre s’il est toujours gaillard, etc. Jusqu’à ce que mort s’en suive. On est quand même venu pour ça.

Considérons dans notre affaire que nos deux tireurs sont également doués. Et qu’ils touchent leur cible 1 fois sur 2.

Du coup question : Quelles est la probabilité pour le premier tireur d’en sortir vivant ?

Ceux qui ont envie de se fendre de la formule générale, quand la probabilité de toucher l’adversaire est p, ne vous gênez pas.

enigmatus · #2

Bonsoir,

Quelles est la probabilité pour le premier tireur d’en sortir vivant ?
Cette probabilité x est telle que :
x = p + (1-p)*(1-p)*x
d'où
x = p / (1 - (1-p)**2)
Pour lever l'indétermination quand p->0, on pose q=1-p, et on simplifie :
x = 1/(q+1) = 1/(2-p)
x = 2/3 pour p = 1/2

Si les probabilités de faire mouche pour chacun des tireurs sont respectivement p1 et p2 :
x = p1 + (1-p1)*(1-p2)*x
d'où
x = p1 / (1 - (1-p1)*(1-p2))

Ebichu · #3

Notons x la probabilité que le premier tireur gagne. Alors on a x = 1/2 + 1/2*(1-x). En effet :
* le premier 1/2 représente la probabilité que le premier tireur réussisse son premier coup.
* le second 1/2 représente la probabilité que le premier tireur rate son premier coup.
* les rôles sont alors inversés, et la probabilité qu'il gagne est devenue (1-x).
La résolution de cette équation donne x = 2/3.

Dans le cas général, cette équation est x = p + (1-p)*(1-x), et sa solution est x = 1/(2-p).

nodgim · #4

La chance de survie du premier tireur est 1/2 + 1/8 + 1/32 + ..., soit, en comptant bien : 2/3.

TOUFAU · #5

Enigmatus, Ebichu, Nodgim, c'est parfait. On s'en doutait :-)
Je pousse le second volet, pour égayer le week end.

Sydre · #6

Salut,

La probabilité recherchée est [latex]\sum^{\infty}_{n=0}p^{n+1}(1-p)^n=\frac{p}{1-p(1-p)}[/latex] donc [latex]\frac{2}{3}[/latex] si [latex]p=\frac{1}{2}[/latex]

TOUFAU · #7

Sydre, le résultat chiffré est bon...mais la formule ne l'est pas.
Par exemple, quand p tend vers 0, l'avantage de tirer premier s'efface. La probabilité du premier tireur devrait tendre vers 1/2.

Sydre · #8

Effectivement, l'heure tardive sans doute
[TeX]\sum^{\infty}_{n=0}p(1-p)^{2n}=\frac{p}{1-(1-p)^2}[/TeX]

Jackv · #9

Il n'est pas trop difficile de se rendre compte que, avec une probabilité de toucher l'adversaire égale à 1/2, la probabilité de rester en vie du premier tireur est de 2/3.

Avec une probabilité de toucher l'adversaire égale à p, celle de rester en vie du premier tireur est alors de 1 / (2 - p) .

TOUFAU · #10

Parfait Sydre. Effectivement la fatigue n'aide pas à tirer juste.
L'alcool non plus d'ailleurs...

Jackv, bon résultat!

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