J'ai commencé par ecrire un programme, et je trouvais 2 solutions:
Spoiler : [Afficher le message]
A=6 et B=17 pour une somme de 23 et un produit de 102.
ou
A=13 et B=22 pour une somme de 35 et un produit de 286.
qui sont bien des mauvaises solutions.. ou sont peut-etre des solutions d'un aute probleme (dont l'enoncé serait legerement different)

Puis je l'ai refait avec Excel et je trouve la solution unique:
Spoiler : [Afficher le message]
A=4 et B=13 pour une somme de 17 et un produit de 52.
Ceci est confirmé par plein de pages concernant ce probleme sur internet.

Spoiler : Réponse
A et B valent 4 et 13.
En ce qui concerne le raisonnement menant à la bonne réponse, j'y étais parvenu il y a quelque temps, mais je n'ai plus tout en tête (ni le temps de m'étaler dans des raisonnements sans fin).
Je me souviens qu'il y a une bonne exploitation des nombres premiers, notamment au niveau du produit et du fait que la plupart des entiers de 4 à 400 peuvent se décomposer comme la somme d'un nombre premier et d'une puissance de 2.

Spoiler : Raisonnement - Épisode 1 "La menace polynôme"
Patrick dans le dialogue dit: "Si c'est comme ça, alors j'ai trouvé". Cela implique qu'il ne peut trouver A et B seulement à partir de P.

Cela permet d'éliminer plusieurs possibilités.
1) Supposons que A et B sont des nombres premiers p1 et p2. P admet donc 4 diviseurs (1, p1, p2 et p1p2). A et B étant 2 diviseurs de P qui, multipliés entre eux, donnent P, alors Patrick peut en conclure que:
- soit A et B valent 1 et p1p2, ce qui est à rejeter car A>1 et B>1 par hypothèses.
- soit A et B valent p1 et p2.
Dans ce cas de figure, Patrick trouverait alors directement A et B, ce qui est faux. Donc A et B sont sont pas 2 nombres premiers (compris entre 2 et 200)

2) Considérons la décomposition de P en nombre premiers (P = p1*p2*...*pn avec n>2 et le même nombre pouvant se répéter plusieurs fois). Supposons que l'un de ces facteurs premiers (p1 par exemple) est strictement supérieur à 100.
- Soit A et B valent p1*(un ou plusieurs autres facteurs premiers) et (le produit des facteurs premiers restant). Comme tout nombre premier est supérieur ou égal à 2, le facteur "p1*(un ou plusieurs autres facteurs premiers)" est strictement supérieur à 200. Tous ces cas sont donc à rejeter compte tenu des hypothèses.
- soit A et B valent p1 et p2*p3*...*pn.
Dans ce cas de figure, Patrick trouverait aussi directement A et B. Donc A et B sont des multiples de nombres premiers inférieurs à 100.

Spoiler : Raisonnement - Épisode 3 "La revanche des Chiffres"
Patrick enchaîne en disant: "Si c'est comme ça, alors j'ai trouvé".
Cela implique que parmi les différents couples de diviseurs de P, il n'y en a qu'un où la somme des diviseurs donne une des sommes "autorisées".

Par exemple, P peut être de la forme P = 2^i * p, où p est un nombre premier et i>1. Dans ce cas, P admet 2*(i+1) diviseurs et alors:
- soit A et B valent 1 et (2^i*p).
- soit A et B valent 2^(i-j) et (2^j*p) avec 0<j<i.
- soit A et B valent 2^i et p.
La première proposition est rejetée par hypothèses, tandis que la deuxième est fausse car dans ce cas S = A+B est pair (somme interdite). Il ne reste donc que la 3e possibilité qui permet une conclusion sans équivoque.

Spoiler : Raisonnement - Épisode 5 "Les Produits contre-attaquent"
Pour les 8 sommes restantes, il faut pousser les recherches un peu plus loin.
Cependant, pour éliminer des sommes on recherche préférentiellement les décompositions faisant apparaitre des puissances de 2 et des multiples de grands nombres premiers. Ainsi on a plus de chances d'éliminer des couples de diviseurs pour motif de somme paire ou de somme supérieure à 103 et donc de trouver 2 décompositions satisfaisant les conditions sur P, condition suffisante pour exclure la somme considérée.

- 97 = 93 + 2^2 = 89 + 2^3
La première décomposition livre un produit de 372. Parmi les couples de diviseurs, on a : 1 et 372 (hors hypothèses), 2 et 186 (somme paire), 3 et 124 (somme > 101), 4 et 93 (somme admise), 6 et 62 (somme paire), 12 et 31 (s=43 somme interdite). 372 se conforme aux conditions sur P.
Le produit issu de la deuxième décomposition est de la forme 2^i*p et est donc lui aussi conforme aux conditions sur P.
97 est à exclure

- 89 = 73 + 2^4 = 25 + 2^6
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 1600. Ce produit admet 11 couples de diviseurs dont seul le couple (25,64) donne une somme conforme.
89 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 65 = 61 + 2^2 = 49 + 2^4
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 784 qui admet 8 couples de diviseurs dont seul le couple (16,49) donne une somme conforme.
65 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 59 = 43 + 2^4 = 55 + 2^2
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 220 qui admet 6 couples de diviseurs dont seul le couple (4,55) donne une somme conforme.
59 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 53 = 37 + 2^4 = 21 + 2^5
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 673 qui admet 12 couples de diviseurs dont seul le couple (21,32) donne une somme conforme.
53 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 41 = 37 + 2^2 = 25 + 2^4
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 400 qui admet 8 couples de diviseurs dont seul le couple (16,25) donne une somme conforme.
41 est à exclure pour la même raison que précédemment.

- 29 = 13 + 2^4 = 27 + 2
La première décomposition livre un produit de la forme 2^i*p et la seconde un produit de 54 qui admet 4 couples de diviseurs dont seul le couple (2,2) donne une somme conforme.
29 est à exclure pour la même raison que précédemment.

La seule somme S qui nous reste est S=17

Un peu tard, apres FSROM1, mais comme ma technique est legeremewnt differente, voici mon éxplication de la solution de l'énigme Produit & Somme:
Spoiler : [Afficher le message]
J'ai d'abord écrit un programme qui calcule tous les produits et toutes les sommes pour 2 nombres de 2 à 100, en prenant soin de ne pas dupliquer une operation. Ensuite je compte le nombre de fois que j'obtient chaque produit. Puisque Stephane dit a Patrick qu'il sait que Patrick ne peut pas determiner les 2 nombres, donc on apprend que le produit ne peut pas être fait de facon unique.
Par exemple 21 ne peut etre fait que par 3*7 (produits de 2 nombres premiers) mais egalement 2328 ne peut etre que le produit de 24*97 puisque 97 est premier, 2328 ne peut pas etre le produit de 12 *194 parce que 194 est superieur a 100. Donc en fait on elimine tous les produits de nombre premiers superieurs a 50. Donc on elimine toutes les sommes qui peuvent etre faite avec un couple A & B quelconque dont le produit peut etre fait de facon unique. Par exemple 10 peut etre fait par 7+3 et 7*3 est la seule facon de faire 21. Donc on elimine 10 comme somme potentielle.

Ce qui reste est cette liste:
a=2 b=9 p=18 s=11
a=2 b=15 p=30 s=17
a=2 b=21 p=42 s=23
a=2 b=25 p=50 s=27
a=2 b=27 p=54 s=29
a=2 b=33 p=66 s=35
a=2 b=35 p=70 s=37
a=2 b=39 p=78 s=41
a=2 b=45 p=90 s=47
a=2 b=51 p=102 s=53
a=3 b=8 p=24 s=11
a=3 b=14 p=42 s=17
a=3 b=20 p=60 s=23
a=3 b=24 p=72 s=27
a=3 b=26 p=78 s=29
a=3 b=32 p=96 s=35
a=3 b=34 p=102 s=37
a=3 b=38 p=114 s=41
a=3 b=44 p=132 s=47
a=3 b=50 p=150 s=53
a=4 b=7 p=28 s=11
a=4 b=13 p=52 s=17
a=4 b=19 p=76 s=23
a=4 b=23 p=92 s=27
a=4 b=25 p=100 s=29
a=4 b=31 p=124 s=35
a=4 b=33 p=132 s=37
a=4 b=37 p=148 s=41
a=4 b=43 p=172 s=47
a=4 b=49 p=196 s=53
a=5 b=6 p=30 s=11
a=5 b=12 p=60 s=17
a=5 b=18 p=90 s=23
a=5 b=22 p=110 s=27
a=5 b=24 p=120 s=29
a=5 b=30 p=150 s=35
a=5 b=32 p=160 s=37
a=5 b=36 p=180 s=41
a=5 b=42 p=210 s=47
a=5 b=48 p=240 s=53
a=6 b=11 p=66 s=17
a=6 b=17 p=102 s=23
a=6 b=21 p=126 s=27
a=6 b=23 p=138 s=29
a=6 b=29 p=174 s=35
a=6 b=31 p=186 s=37
a=6 b=35 p=210 s=41
a=6 b=41 p=246 s=47
a=6 b=47 p=282 s=53
a=7 b=10 p=70 s=17
a=7 b=16 p=112 s=23
a=7 b=20 p=140 s=27
a=7 b=22 p=154 s=29
a=7 b=28 p=196 s=35
a=7 b=30 p=210 s=37
a=7 b=34 p=238 s=41
a=7 b=40 p=280 s=47
a=7 b=46 p=322 s=53
a=8 b=9 p=72 s=17
a=8 b=15 p=120 s=23
a=8 b=19 p=152 s=27
a=8 b=21 p=168 s=29
a=8 b=27 p=216 s=35
a=8 b=29 p=232 s=37
a=8 b=33 p=264 s=41
a=8 b=39 p=312 s=47
a=8 b=45 p=360 s=53
a=9 b=14 p=126 s=23
a=9 b=18 p=162 s=27
a=9 b=20 p=180 s=29
a=9 b=26 p=234 s=35
a=9 b=28 p=252 s=37
a=9 b=32 p=288 s=41
a=9 b=38 p=342 s=47
a=9 b=44 p=396 s=53
a=10 b=13 p=130 s=23
a=10 b=17 p=170 s=27
a=10 b=19 p=190 s=29
a=10 b=25 p=250 s=35
a=10 b=27 p=270 s=37
a=10 b=31 p=310 s=41
a=10 b=37 p=370 s=47
a=10 b=43 p=430 s=53
a=11 b=12 p=132 s=23
a=11 b=16 p=176 s=27
a=11 b=18 p=198 s=29
a=11 b=24 p=264 s=35
a=11 b=26 p=286 s=37
a=11 b=30 p=330 s=41
a=11 b=36 p=396 s=47
a=11 b=42 p=462 s=53
a=12 b=15 p=180 s=27
a=12 b=17 p=204 s=29
a=12 b=23 p=276 s=35
a=12 b=25 p=300 s=37
a=12 b=29 p=348 s=41
a=12 b=35 p=420 s=47
a=12 b=41 p=492 s=53
a=13 b=14 p=182 s=27
a=13 b=16 p=208 s=29
a=13 b=22 p=286 s=35
a=13 b=24 p=312 s=37
a=13 b=28 p=364 s=41
a=13 b=34 p=442 s=47
a=13 b=40 p=520 s=53
a=14 b=15 p=210 s=29
a=14 b=21 p=294 s=35
a=14 b=23 p=322 s=37
a=14 b=27 p=378 s=41
a=14 b=33 p=462 s=47
a=14 b=39 p=546 s=53
a=15 b=20 p=300 s=35
a=15 b=22 p=330 s=37
a=15 b=26 p=390 s=41
a=15 b=32 p=480 s=47
a=15 b=38 p=570 s=53
a=16 b=19 p=304 s=35
a=16 b=21 p=336 s=37
a=16 b=25 p=400 s=41
a=16 b=31 p=496 s=47
a=16 b=37 p=592 s=53
a=17 b=18 p=306 s=35
a=17 b=20 p=340 s=37
a=17 b=24 p=408 s=41
a=17 b=30 p=510 s=47
a=17 b=36 p=612 s=53
a=18 b=19 p=342 s=37
a=18 b=23 p=414 s=41
a=18 b=29 p=522 s=47
a=18 b=35 p=630 s=53
a=19 b=22 p=418 s=41
a=19 b=28 p=532 s=47
a=19 b=34 p=646 s=53
a=20 b=21 p=420 s=41
a=20 b=27 p=540 s=47
a=20 b=33 p=660 s=53
a=21 b=26 p=546 s=47
a=21 b=32 p=672 s=53
a=22 b=25 p=550 s=47
a=22 b=31 p=682 s=53
a=23 b=24 p=552 s=47
a=23 b=30 p=690 s=53
a=24 b=29 p=696 s=53
a=25 b=28 p=700 s=53
a=26 b=27 p=702 s=53

On voit que les seules sommes potentielles sont: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47 et 53.

Ensuite J'ai transporté cette liste sous excel. Et puisque Patrick dit a stephane "Si c'est comme ça, alors j'ai trouvé", alors ca signifie Patrick sait qu'une seule somme peut correspondre a son produit. donc j'ai eliminé toutes les lignes dont le produit n'est pas fait de facon unique. et il reste:
a=2    b=9    p=18    s=11
a=3    b=8    p=24    s=11
a=4    b=7    p=28    s=11
a=4    b=13    p=52    s=17
a=7    b=16    p=112    s=23
a=10    b=13    p=130    s=23
a=4    b=19    p=76    s=23
a=5    b=22    p=110    s=27
a=7    b=20    p=140    s=27
a=8    b=19    p=152    s=27
a=9    b=18    p=162    s=27
a=10    b=17    p=170    s=27
a=11    b=16    p=176    s=27
a=13    b=14    p=182    s=27
a=2    b=25    p=50    s=27
a=4    b=23    p=92    s=27
a=4    b=25    p=100    s=29
a=6    b=23    p=138    s=29
a=7    b=22    p=154    s=29
a=8    b=21    p=168    s=29
a=10    b=19    p=190    s=29
a=11    b=18    p=198    s=29
a=12    b=17    p=204    s=29
a=13    b=16    p=208    s=29
a=2    b=27    p=54    s=29
a=4    b=31    p=124    s=35
a=6    b=29    p=174    s=35
a=8    b=27    p=216    s=35
a=9    b=26    p=234    s=35
a=10    b=25    p=250    s=35
a=12    b=23    p=276    s=35
a=14    b=21    p=294    s=35
a=16    b=19    p=304    s=35
a=17    b=18    p=306    s=35
a=3    b=32    p=96    s=35
a=5    b=32    p=160    s=37
a=6    b=31    p=186    s=37
a=8    b=29    p=232    s=37
a=9    b=28    p=252    s=37
a=10    b=27    p=270    s=37
a=16    b=21    p=336    s=37
a=17    b=20    p=340    s=37
a=3    b=38    p=114    s=41
a=4    b=37    p=148    s=41
a=7    b=34    p=238    s=41
a=9    b=32    p=288    s=41
a=10    b=31    p=310    s=41
a=12    b=29    p=348    s=41
a=13    b=28    p=364    s=41
a=14    b=27    p=378    s=41
a=15    b=26    p=390    s=41
a=16    b=25    p=400    s=41
a=17    b=24    p=408    s=41
a=18    b=23    p=414    s=41
a=19    b=22    p=418    s=41
a=4    b=43    p=172    s=47
a=6    b=41    p=246    s=47
a=7    b=40    p=280    s=47
a=10    b=37    p=370    s=47
a=13    b=34    p=442    s=47
a=15    b=32    p=480    s=47
a=16    b=31    p=496    s=47
a=17    b=30    p=510    s=47
a=18    b=29    p=522    s=47
a=19    b=28    p=532    s=47
a=20    b=27    p=540    s=47
a=22    b=25    p=550    s=47
a=23    b=24    p=552    s=47
a=5    b=48    p=240    s=53
a=6    b=47    p=282    s=53
a=8    b=45    p=360    s=53
a=10    b=43    p=430    s=53
a=12    b=41    p=492    s=53
a=13    b=40    p=520    s=53
a=15    b=38    p=570    s=53
a=16    b=37    p=592    s=53
a=17    b=36    p=612    s=53
a=18    b=35    p=630    s=53
a=19    b=34    p=646    s=53
a=20    b=33    p=660    s=53
a=21    b=32    p=672    s=53
a=22    b=31    p=682    s=53
a=23    b=30    p=690    s=53
a=24    b=29    p=696    s=53
a=25    b=28    p=700    s=53
a=26    b=27    p=702    s=53
Maintenant, à cause de la derniere déclaration de Stephane "Ah bon? Alors moi aussi". On peut en deduire qu'il sait qu'un seul produit peut faire la somme qu'il a. Et dans cette derniere liste, seulle la somme de 17 peut etre faite de facon unique.
Donc a=4, b=13, p=52, s=17

C'est aussi étudié en spé maths en L

Chapeau pour la demo en étape, chapeau aussi pour la recherche exhaustive (ça doit pas être facile facile ...)

À la vue les echos qui ont suivi les démonstrations, je suis content de voir que malgré la lourdeur du raisonnement, ça n'a pas causé une épidémie de migraines En effet, j'ai beaucoup détaillé par moments, mais je voulais, contrairement à la simulation informatique, livrer quelque chose d'extrêmement rigoureux.
Maintenant il ne me reste plus qu'à souhaiter "Longue vie à Prise2tete.fr", comme cela je saurais où je pourrais retrouver ce raisonnement fort fastudieux sans devoir le retaper

PS : Je viens de remarquer que j'avais un peu allourdi le problème en admettant que A et B pouvaient être compris entre 2 et 200 (données du problème que j'avais rencontré ailleurs sur la toile), alors que l'énigme ici présente se limitait à A et B compris entre 2 et 100.

scarta a écrit:

Petite énigme mathématique, donc, que j'affectionne particulièrement.
Un prof de math un peu tordu tire au hasard deux nombres A et B compris entre 2 et 100, puis il fait venir au tableau Stephane et Patrick.
A Stephane, il communique la somme S de ces deux nombres.
A Patrick, il donne le produit P de ces deux nombres.

Stephane: "Patrick, je sais que tu ne peux pas trouver quels étaient A et B"
Patrick: "Si c'est comme ça, alors j'ai trouvé"
Stephane: "Ah bon? Alors moi aussi".

Voilà, à vous de chercher, quels étaient A et B?

Une autre manière de voir les choses, plus synthétique et plus claire
Considérons que:
[TeX]A+B=S[/TeX]
et
[TeX]A*B=P[/TeX]
Donc, on a:
[TeX]A=(S-\sqrt{S*S-4*P})/2[/TeX]
et
[TeX]B=(S+\sqrt{S*S-4*P})/2[/TeX]
Faites l'essai avec P=52 et S =17.
Vous retrouvez A=4 et B=13.

C'est rectifié mais les formules sont correctes. Un autre essai avec P=74 et S=39 pourrait vous convaincre.