je propose f(x)= v*x

On va dire tout simplement f(x) = vx
En effet, f(f(x)) + uf(x) = v.vx + u.vx = v(u+v)x

Pour l'unicité je vais y réfléchir

F(x) est de la forme nx

d'où :
(n^2) x + un x = v^2 + uv x

F(x) = vx

f(x)=v*x
f(0)=0 car f(f(0))+uf(0)=0 ce qui implique f(f(0))=-uf(0) or f(0)>=0 et f(f(0))>=0

Oui, c'est l'unique solution, la preuve que j'ai n'est pas triviale du tout.
Je donne un indice ?

Spoiler : Indice1 Une suite récurrente serait utile peut être... 

Non, pas de supposition de continuité...

Spoiler : Indice 1bis ... mais f peut servir à définir une suite récurrente.

Je donnerai un indice plus précis en fin de journée.

Elle est nulle, ta suite !
Comme f(0)=0, an=0 pour tout n.
Donc les composées n-ièmes de f en 0 sont nulles ... Et ?

Oups ! Désolé ! Oui, pourquoi j'ai mis 0 moi ? je voulais dire a0 = r (r réel quelconque)...

PS : très drôle le "elle est nulle ta suite" de looping

Bon je recommence tout, j'avais pas vu le truc tout de suite, c'est assez astucieux en fait :

Pour r réel positif, on pose [latex]a_n=f^n(r),\forall n \in N[/latex]
En utilisant la relation sur f pour [latex]x=a_n[/latex], on obtient :
[TeX]a_{n+2} + u a_{n+1} - v(u+v)a_n=0[/TeX]
[TeX]a_n[/latex] est donc une suite linéaire récurrente d'ordre 2, le polynôme caractéristique associé est :
[latex]X^2+uX-v(u+v)[/TeX]
Son discriminant vaut : [latex]u^2+4v(u+v)=u^2+4uv+4v^2=(u+2v)^2 > 0[/latex]
Il y a donc 2 racines distinctes au polynôme, qui sont :
[TeX]\frac{-u-(u+2v)}2[/latex] et [latex] \frac{-u+(u+2v)}2[/TeX]
soit [latex]-(u+v)[/latex] et [latex]v[/latex]
On peut alors donner [latex]a_n[/latex] en fonction de n, avec [latex]\alpha[/latex] et [latex]\beta[/latex] constantes :
[TeX]a_n = \alpha(-u-v)^n + \beta v^n[/TeX]
On détermine [latex]\alpha[/latex] et [latex]\beta[/latex] grâce à [latex]a_0[/latex] et [latex]a_1[/latex] :
[TeX]r = \alpha + \beta[/latex] et [latex] f(r) = -(u+v)\alpha + \beta v
[/TeX]
Résolution rapide, on trouve :
[TeX]\alpha=-\frac{f(r)-vr}{u+2v}
\beta=\frac{f(r)+(u+v)r}{u+2v}[/TeX]
Et là je pensais pouvoir conclure, mais finalement je bloque.
J'aimerais montrer que nécessairement [latex]\alpha=0[/latex], c'est-à-dire [latex]f(r)=vr[/latex]

Donc à suivre...

EDIT
Bon après quelques bons aiguillages par MP...

On a même pas besoin de calculer [latex]\alpha[/latex] et [latex]\beta[/latex]. Juste on divise la relation de récurrence par [latex]v^n[/latex] (v non nul) :
[TeX]\frac{f^n(r)}{v^n} = \beta - \alpha (-1)^n(1+\frac uv)^n[/TeX]
Comme [latex]f^n[/latex] est positive, car f l'est, on a :
[TeX]\beta \ge \alpha(-1)^n(1+\frac uv)^n[/TeX]
Pour n=2p, on s'aperçoit que [latex]\alpha[/latex] ne peut pas être strictement positif, car le terme de droite tendrait vers l'infini, en étant borné par [latex]\beta[/latex]
Pour n=2p+1, on s'aperçoit que [latex]\alpha[/latex] ne peut pas être strictement négatif, car le terme de droite tendrait vers l'infini, en étant borné par [latex]\beta[/latex].
On en déduit que [latex]\alpha=0[/latex], et [latex]f^n(r)=\beta v^n[/latex]
En n=0, on trouve [latex]r=\beta[/latex], et en n=1 : f(r)=vr

Bravo Looping ! Je prendrai même ta solution en exemple...
Peu de participations aussi à la partie difficile.