En gros, je décide de découper l'année en N parts de durée égale, avec un intérêt de [latex]\frac{10}N %[/latex] sur chaque part, et comme ces intérêts sont cumulatifs, je multiplie en fait ma somme de départ par [latex]1 + \frac1{10N}[/latex] à chaque fois, c'est-à-dire par [latex]\left( 1 + \frac1{10N} \right)^N[/latex] en un an.

Je veux donc trouver N qui maximise [latex]f(N) = \left( 1 + \frac1{10N} \right)^N[/latex]. Un horrible calcul de dérivée montre que cette fonction est croissante sur [latex]\mathbb{R}^+[/latex], et un calcul de limites que je ne sais même pas faire (disons que j'ai oublié comment le faire, merci Wolfram|Alpha sur ce coup-là) donne une limite quand N tend vers l'infini valant [latex]e^{1/10}[/latex] soit environ 1,10517.

On doit donc prendre le plus grand N possible (je pense qu'à un micro-pouillème près, demander "toutes les secondes" sera le plus rentable) pour monter le pourcentage d'intérêt annuel à environ 10,517 %.

Le 0,517 % qui dépasse ([latex]0,00517 S[/latex], avec S la somme déposée) doit donc être supérieur au coût c de la souscription à cette option.

Donc je dois choisir [latex]S \ge \frac c{0,00517}[/latex]. Ordre de grandeur : 200 fois c.

Ceci dit... En déposant 1000 euros, je gagne 100 euros avec le crédit normal, et 105 euros avec cette version du crédit. On gratouille, on gratouille...

Franky pourquoi la valeur maximale est atteinte quand on découpe à "l'infini"?

Si on découpe l'année en x morceaux; alors le taux p annuel "deviendrait" p/x sur chaque morceau (ceci dit, ça marche pas vraiment comme ça dans la vraie vie ^^)

Du coup, pour une somme de départ s, j'obtiens au bout d'un an la modique somme de f(x) = s*(1+p/x)^x = s.exp(x ln(1+p/x)) = s.exp(x ln((p+x)/x))

Si on dérive ça, on trouve une fonction dérivée bien lourde mais qui a le bon goût d'être positive pour x > 1 donc f(x) est croissante.
La limite en +infini de f vaut (à grands coups de DL) s.exp(p)

Le maximum atteignable à partir d'une somme s et d'un taux annuel p est donc égal à s.e^p
Dans l'énoncé, cela se traduit par 100.e^0.1 = 110.517092
Je n'y mettrai donc pas plus de 51,7092 centimes ( ou plus exactement 110-100.e^0.1 euros)

Si on découpe l'année en p périodes et que l'on note t le taux annuel, à chaque période les intérêts acquis sont de:
[TeX]\dfrac{t}p[/latex] %
Le capital après k périodes est donc [latex]C_k=C_0.(1+\dfrac{t}p)^k[/latex].

Et en particulier à la fin de l'année:  [latex]C_p=C_0.(1+\dfrac{t}p)^p[/latex].

Posons [latex]f(x)=(1+\dfrac{t}x)^x=e^{x.ln(1+\dfrac{t}x)}[/latex].

On a [latex]C_p=C_0.f(p)[/latex].

On cherche donc p maximisant la fonction f.
Je passe les détails des calculs:

[latex]f'(x)=f(x).[ln(1+\dfrac{t}x)-\dfrac{t}{x+t}][/TeX]
Je pose [latex]g(x)=ln(1+\dfrac{t}x)-\dfrac{t}{x+t}[/latex]
[TeX]g'(x)=-\dfrac{t^2}{x(x+t)^2}[/TeX]
g'(x) est <0 pour tout x>0 (ensemble qui nous intéresse).
Donc g est décroissante sur [latex]\mathbb{R}^+[/latex]

De plus [latex]\lim_{x \to \infty} g(x)=0[/latex]

Donc g est strictement positive sur [latex]\mathbb{R}^+[/latex]
Donc f' (qui vaut f.g) est strictement positive sur  [latex]\mathbb{R}^+[/latex] (f est une exponentielle donc toujours >0).
Donc f est croissante.

On maximise donc le gain en prenant p (la découpe) le plus grand possible et idéalement infini (ce qui correspond à une capitalisation continue). Ceci explique pourquoi les banques choisissent p=1

Dans le cas continu:
En utilisant: [latex]ln(1+x)=x+x\epsilon(x)[/latex] avec [latex]\lim_{x \to 0}\epsilon(x)=0[/latex], on montre aisément que:
[TeX]\lim_{x \to \infty} (1+\dfrac{t}x)^x = e^t[/TeX]
Le maximum que l'on puisse espérer est donc de multipler son capital par [latex]e^t[/latex] en un an grâce à une capitalisation continue.
Ici t=10%, donc [latex]e^{t}[/latex]~10,52%.
Ce qui correspond donc à un taux annuel composé simple de 10,52% (on ne peut donc pas obtenir par magie des taux exhorbitants . Ce taux s'appelle aussi le taux d'intérêt annuel effectif.

Cela donne aussi le prix que l'on peut accepter de payer pour ce placement.
S'il coûte plus de 0,52% du capital de plus que le taux annuel, cela ne vaut pas la peine.

Merci pour cette plongée dans la finance

L'évolution du montant sur le compte rémunéré s'écrit sous forme de suite :
[TeX]a_{k+1}=a_k +\frac{T}{N}a_k[/latex] avec [latex]a_0[/latex] la somme de départ et T le taux qui vaut 0.1 ici.

Le montant total obtenu à la fin de l'année est :
[latex]a_N=a_0\(1+\frac{T}{N}\)^N=a_0e^{NLog\(1+\frac{T}{N}\)}[/TeX]
avec N le nombre choisi de prises d'intérêts dans l'année.

Un petit développement limité du Log à l'ordre 1 afin d'obtenir un equivalent pour T/N qui tend vers 0 et on obtient :
[TeX]a_N\text{ equivalent a }a_0.e^{T}[/TeX]
La somme limite atteinte dans notre cas est donc de 110.517 soit un gain de 10.517euros au lieu de 10e si l'intérêt est annuel. Avec une prise d'intérêt mensuelle, on est déjà à 110.471e soit pas trop loin de la limite.

Je suis un peu fatiguée encore, mais si je ne me suis pas trompée dans mon modèle, le capital + intérêts à la fin de l'année est modélisé par la formule suivante, où n représente la le nombre de divisions de l'année (2 pour des intérêts tous les 6 mois, 4 pour tous les 3 mois, etc.) :
[TeX]100\times[1+\frac{1}{n}\times{10%}]^n[/TeX]
Je ne calcule pas, mais je fais des simulations sous Excel qui me dit que même avec un n grand, je ne vais pas gagner énormément en plus.
Pour n = 1,00E+14; 111,7419828
Ce qui me fait gagner 1€ et quelques de plus.
Donc je dirais que je donnerai 1€ max pour cette offre, histoire de quand même gagner quelque chose...

C'est le principe des intérêts composés.

Quand le découpage tend vers l'infini, la somme finale tend vers [latex]100\times e^{0,1}\approx 110,517[/latex]

Quand à combien je donnerai pour cette offre, on devrait pouvoir s'arranger en privé.