DEMO GLOBALE COURTE:

Salut,
On peut être dense sur un intervalle avec un nombre dénombrable de valeurs. (par exemple les rationnels).
Du coup on peut concevoir sur R une infinité non dénombrable d'orbites chacunes denses dans R. Il suffit de leur associer a chacune un réel différents, notre fonction prendra donc ce réel comme valeur en tout point de l'orbite associée.

CQFD.

Clydevil : Spoiler : [Afficher le message] Très juste et concis, je n'avais pas pensé à prendre le problème de manière globale. Essaye de trouver une fonction défini "directement" à partir d'un réel x donné, f(x) = ...

Vasimolo : Non, par exemple la fonction indicatrice des rationnels, elle a une infinité de un dans chaque intervalle non vide mais sa réciproque appliqué à 1 vaut Q et non R.

Il me semble que si on considère un élément "x" quelconque de l'ensemble d'arrivée , il doit avoir un antécédent dans chaque intervalle ouvert et non vide de [latex]\mathbb{R}[/latex] c'est à dire qu'il doit avoir l'ensemble des réels comme antécédent , n'est-ce pas une contradiction ?

Vasimolo

gwen27 : Il s'agit de trouver une fonction qui associe un réel à un réel et non une fonction qui associe un ensemble à un réel.

Vasimolo : On peut effectivement trouver une suite de d’antécédent d'un "x" donné qui se rapproche autant que l'on veut de n'importe quel réel "y", mais ça ne signifie pas que f(y)=x.

Exemple (qui ne répond pas au problème ce serait trop facile ) :

la fonction f : x-> sin(1/x) et telle que f(0)=0.
Cette fonction oscille de plus en plus vite en se rapprochant de 0. Ainsi dans tous les intervalles contenant 0,  f(]a,b[)= [-1,1] donc on peut trouver une suite d'antécédent de n'importe quel réel "x" de [-1,0[ U ]0,1] qui se rapproche de 0, pourtant f(0) n'est pas égale à x.


Klimrod : Non, il faut que ça marche pour tout les intervalles de la forme ]a,b[  en même temps

gwen27 a écrit:

gwen27 : Il s'agit de trouver une fonction qui associe un réel à un réel et non une fonction qui associe un ensemble à un réel.

Dans ce cas, forfait, désolé, ce n'est pas de mon niveau, je n'avais pas bien lu l'énoncé.

Je dirais f(x) = 1/(b-x) - 1/(x-a)
En a, f(x) tend vers -infini; en b vers +infini; et la fonction est continue

1/(a-x) + 1/(b-x)

Juste dans le but de partager avec tout le monde:

http://allken-bernard.org/pierre/weblog/?p=1520

Clydevil : Non mon approche n'est pas parfaitement constructive. Par contre en se restreignant à Q ma fonction est définie de manière constructive et est "passe partout partout" de Q vers Q.

Yanyan : Tu as la même approche que Clydevil, par contre je pense qu'il faut retravailler ta fonction car en posant a=s*p l’ensemble {a/q | q entier} n'est pas dense dans R.

irmo322 : Bravo, tu as exactement la même définition que Clydevil , avec une démonstration mieux détaillé.

Je vais rajouter un indice, qui devrait vous permettre de trouver des fonctions définies de manière unique.

Pour la constructibilité, je ne suis pas expert dans ce domaine , mais il me semble que comme on ne peut définir de manière constructive qu'un nombre dénombrable de réels (l'ensemble des définitions de longueur finis étant dénombrable), toute fonction sur les réels est au mieux constructible sur un nombre dénombrable de réels constructibles.

Quand à ma fonction, elle est définie de manière constructive en suffisamment de réels pour passer partout par tout les réels constructibles. J'espère que je ne suis pas abscons 

rivas : Oui j'avais vu le lien, mais j'aurais préférer une réponse personnelles .
Cependant en revisitant le lien et en relisant attentivement, je trouve deux problèmes majeurs à la fonction proposé :

1) d'abord ce qui est défini n'est pas une fonction mais une suite de fonction, car [latex]f(x) = g_n(x)[/latex] : En effet dans la démonstration on fixe d'abord les intervalles, puis on choisit le n comme ça nous arrange. Ensuite rien ne prouve que la suite de fonction [latex]g_n[/latex] converge simplement vers une fonction, c'est à dire que quel que soit x [latex]lim g_n(x)[/latex] existe.
Pour ma part je pense qu'elle ne converge pratiquement nul part, les valeurs de [latex]g_n(x)[/latex] n’arrêtant pas de sauter quand n augmente.

2) deuxième problème : le problème posé n'est pas exactement le même, puisqu'il s'agit d'être dense dans les réels et non de de passer par tous. Pour montrer la différence, je redonne l'exemple de Q, l'ensemble des fractions rationnel qui est dense dans R mais est différent de lui. La propriété passe partout partout n'est pas démontré pour la fonction car en prolongeant "f à R n'importe comment, par exemple en posant f(x)=0", sa fonction manque tout les nombres irrationnels .

Je fais suivre le lien http://allken-bernard.org/pierre/weblog/?p=1520


PS: vos réponses me donne plus de fil à retordre que je ne l'aurais pensé, surtout quand il y a des erreurs