Enigme Calculator @ Prise2Tete

SaintPierre · #1

C'est un problème vraiment difficile que je vous propose là. Chapeau à celui qui trouvera.

Sur votre calculatrice, les opérations élémentaires +, - , x , / , x², racine carrée, etc, ne fonctionnent plus et seules les touches sin, cos, tan, arcsin (ou inv sin), arccos (ou inv cos), arctan (ou inv tan) sont disponibles. Les mises en mémoire sont impossibles. Au départ, l’écran affiche 0 et les angles résultant des fonctions arccos, arcsin et arctan sont affichés en degrés.
Par exemple, en appuyant successivement sur les touches cos et arcsin, vous obtenez d’abord 1 = cos(0) puis 90 = arcsin(1).
Comment pouvez-vous obtenir le nombre entier 2011 à l’écran ?

Mêmes questions si l’affichage des angles est en radians puis en grades.

Pouvez-vous obtenir le nombre décimal 20.11 toujours à partir de 0 avec un affichage des angles en degrés ?

TiLapiot · #2

en mode RADIAN, j'ai pour l'instant pas mieux que 2012,75
J'n'ai bientôt plus de pile à ma calculette

TiLapiot · #3

Tjs en BRUTE FORCE et en RADIAN, j'ai 2011.191317

Heu, juste une question : on a droit à la fonction "ENT", car j'ai usé les touches de la vieille HP97 qui fatigue !

J'ai aussi essayé de résoudre le pb dans l'autre sens : c-à-d partir de 2011 pour arriver à 0, et là j'ai pigé qu'il y avait une ruse (!)
...ne serait-ce que parce que nos moyens de calculs n'ont pas un nombre illimité de décimales, et qu'il y a approximation à chaque calcul effectué, donc d'itérations en itérations on perd une infime partie... L'effet papillon quoi

Foutus radians, hahaha

Vasimolo · #4

Comme je ne connais que les degrés je dirais que c'est impossible , on ne pourra pas dépasser 90 , il suffit pour ça de visualiser le graphe des 6 fonctions autorisées .

Vasimolo

Clydevil · #5

Salut,
Énigme intéressante!
Petite question assez borderline, est ce que la caltos utilise la définition étendue des fonctions trigonométriques (peut elle faire arcsin(2) avec le résultat à valeur dans les nombres complexes?)

nodgim · #6

Cette question n'est elle pas un plagiat du site Diophante sur lequel elle a été posée le mois dernier ?

SaintPierre · #7

Oui, et alors ? Si tu l'as déjà résolu, merci de nous faire part de ta solution.

w9Lyl6n · #8

J'utilise les angles en radians, je n'ai pas encore trouvé pour les degrés

La première chose que l'on peut dire c'est que la dernière fonction à appliquer est tan car c'est la seul qui puisse donner des nombres plus grand que Pi.

Pour cela on sa essayer d'avoir un nombre très proche de Pi/2 (inférieur).
Comme acos(0) = Pi/2, on va essayer d'avoir quelque chose très proche de 0, mais non nul, puis on lui appliquera acos et tan.

Mon idée est d'itérer sin en partant de cos(0)=1 jusqu'à quelque chose de suffisamment petit.

la suite [latex]u_{n+1}=sin(u_n)\ ,\ u_0=1[/latex] tend vers 0 (elle est décroissante car sin(x)<x pour les x>0 et sa limite est un point fixe de sin car sin est continue)

On cherche donc m tel que [latex]tan(acos(sin^m(cos(0)))) \simeq 2011[/latex]

D'abord :
[TeX]tan(acos(x)) = \frac{sin(acos(x))}{x}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}=\sqrt{\frac{1}{x^2}-1} [/TeX]
[TeX]\simeq \frac{1}{x}[/latex] si x est proche de 0.

Je cherche maintenant p tel que [latex]{u_{n+1}}^p-{u_n}^p=cst+o(1)[/latex] j'obtiens p=-2 et cst = 1/3.

Donc [latex]u_n \sim (\frac{n}{3})^{-1/2}[/TeX]
Enfin [latex](\frac{m}{3})^{-1/2}=\frac{1}{2011}[/latex] donne m=3x2011²

[latex]tan(acos(sin^{3*2011^2-9}(cos(0)))) = 2011.00001801...[/latex]

(le -9 est un ajustement "à la main") Si la calculette n'affiche pas assez de chiffres significatifs alors on ne verra que 2011

Pour les degré, itérer sin converge exponentiellement vers 0, donc est trop imprécis, il faut que je trouve autre chose...

halloduda · #9

C'est le casse-tête de l'été 2011 de diophante.fr

Il est d'usage en pareil cas de citer la source.
Mais comme elle donne la solution (incorrecte)...

Incorrecte car le problème n'a de sens que si la calculatrice calcule avec un nombre illimité de chiffres significatifs, sinon les arrondis/troncatures le rendent impossible.

L'énoncé de ce problème aux Olympiades américaines de mathématiques en 1995 précisait d'ailleurs ce point.

scarta · #10

Quelques formules de base:
tan(arcsin(x)) = x / sqrt(1-x^2)
tan(arccos(x)) = sqrt(1-x^2) / x
cos(arctan(x)) = 1/sqrt(1+x^2)
sin(arctan(x)) = x/sqrt(1+x^2)

On peut composer ensuite ça différemment:
sin(arctan(cos(arctan(x)))) = 1/sqrt(1+x^2)/sqrt(1+1/(1+x^2))
= 1/sqrt(2+x^2)
Tiens tiens...

sin(arctan(1/sqrt(n+x^2)) = 1/sqrt(n+x^2)/sqrt(1+1/(n+x^2))
= 1/sqrt(n+1+x^2)

Du coup, (sin o arctan)^n o (cos o arctan)(x) = 1/sqrt(n+1+x^2)
En prenant x=cos(0) et n = 2011²-1, on obtient 1/sqrt(2011^2+1)

Enfin, tan(arccos(1/sqrt(n+1))) = sqrt(1-1/(n+1))*sqrt(n+1) = sqrt(n)

Du coup, tan o arccos o (sin o arctan)^(n²-1) o cos o arctan o cos (0) = n
(et ce quelque soit l'unité d'angle choisie)

Du coup, il suffit de faire cos, arctan, cos, "arctan puis sin" 4044120 fois, puis arccos et tan pour obtenir 2011

scarta · #11

La question 2 est bien plus compliquée. En effet, il faudrait pouvoir garder 2 nombres sous la main (2011 et 100), pour ensuite en faire une division...

On commence par remarquer que :
[TeX]\cos(\tan^{-1}(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})) = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}\\
\sin(\tan^{-1}(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})) = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}[/TeX]
Autrement dit, si j'ai 2 nombres a et b; je peut obtenir un des deux couples (a; a+b) ou (b; a+b), le tout étant exprimé comme la racine de leur rapport

Supposons qu'on puisse ainsi obtenir n'importe quel couple (a;b), qu'en ferait-on ensuite?
[TeX]\tan(\sin^{-1}(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})) = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b-a}}\\
\tan(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})) = \frac{\sqrt{b-a}}{\sqrt{a}}[/TeX]
Il faudrait donc obtenir le couple (100²; 2011²+100) et lui appliquer tan o arccos pour obtenir 2011/100

On va donc remonter de (100²; 2011²+100) jusqu'à des couples plus petits, en faisant un genre d'algorithme d'Euclide.
Je peux obtenir (100²; 2011²+100)
> en faisant sin o arctan sur (100²; 2011²)
> en faisant (sin o arctan)² sur (100²; 2011²-100)
...
> en faisant ((sin o arctan)^404) sur (100²; 14121)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) sur (4121; 10000)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) sur (4121; 5879)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) sur (1758; 4121)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) sur (1758; 2363)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) sur (605; 1758)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) sur (605; 1153)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) sur (548; 605)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan)^2 sur (57; 548)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan)^2 o (sin o arctan)^8 sur (57; 92)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan)^2 o (sin o arctan)^8 o (cos o arctan) sur (35; 57)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan)^2 o (sin o arctan)^8 o (cos o arctan)^2 sur (22; 35)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan)^2 o (sin o arctan)^8 o (cos o arctan)^3 sur (13; 22)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan)^2 o (sin o arctan)^8 o (cos o arctan)^4 sur (9; 13)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan)^2 o (sin o arctan)^8 o (cos o arctan)^5 sur (4; 9)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan)^2 o (sin o arctan)^8 o (cos o arctan)^5 o (sin o arctan) sur (4; 5)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan)^2 o (sin o arctan)^8 o (cos o arctan)^5 o (sin o arctan) o (cos o arctan) sur (1; 4)
> en faisant ((sin o arctan)^404) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan) o (cos o arctan)^2 o (sin o arctan)^8 o (cos o arctan)^5 o (sin o arctan) o (cos o arctan) o (sin o arctan)^3 sur (1; 1)

Conclusion: pour obtenir 20,11 en partant de 0; il faut appuyer sur
- cos => 1
- arctan puis sin (3 fois) => 1/sqrt(2), 1/sqrt(3), 1/sqrt(4),
- arctan puis cos => sqrt(4/5)
- arctan puis sin => sqrt(4/9)
- arctan puis cos (5 fois) => sqrt(9/13), sqrt(13/22), sqrt(22/35), sqrt(35/57), sqrt(57/92)
- arctan puis sin (8 fois) => sqrt(57/149), sqrt(57/206), ...., sqrt(57/548)
- arctan puis cos (2 fois) => sqrt(548/605), sqrt(605/1153)
- arctan puis sin => sqrt(605/1758)
- arctan puis cos => sqrt(1758/2363)
- arctan puis sin => sqrt(1758/4121)
- arctan puis cos => sqrt(4121/5879)
- arctan puis sin => sqrt(4121/10000)
- arctan puis cos => sqrt(10000/14121)
- arctan puis sin (404 fois) => sqrt(10000/24121), sqrt(10000/34121), ..., sqrt(10000/4054121)
- arccos puis tan => sqrt(4044121/10000) = 2011/100 = 20.11

Badaboum

scarta · #12

J'ai automatisé la bête : ces quelques lignes de C# sont capables de renvoyer une formule à partir d'une fraction (en la rendant d'abord irréductible)

Code:

static int gcd(int a, int b) {
  if (a < b) return gcd(b, a);
  if (a == b) return a;
  if (b == 1) return 1;
  int c = a % b;
  if (c == 0) return b;
  return gcd(b, c);
}

static string GetRes(int numerator, int denominator) {
  if (numerator == 0) return "0";
  int g = gcd(numerator, denominator), n = numerator / g,  d = denominator / g;
  string res = "tan " + (n < d ? "asin " : "acos ");

  int a = n > d ? d * d : n * n;
  int b = n > d ? n * n + a : d * d + a;
  while (a * b != 1)
  {
    for (; b > 2 * a; b -= a) res += "sin atan ";
    res += "cos atan ";
    int c = a; a = b - a; b = c;
  }
  if (res.StartsWith("tan asin sin atan") || res.StartsWith("tan acos cos atan")) res = res.Substring(18);
  return res + "cos 0";
}

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