J'ai déjà vu cette énigme quelquepart (peut-être bien sur ce site), mais je ne me souviens pas du résultat. Tant qu'à faire, allons y directement à la généralisation:
le chat court k fois plus vite que le canard.
Soit R le rayon du disque. Le canard va d'abord courir sur un cercle de rayon R/k.
Ils vont ainsi courir à la même vitesse angulaire et sur un même rayon. Le canard
va ensuite diminuer très légèrement le rayon de son cercle de course: il va donc prendre de l'avance "angulaire". Il arrive un moment où le chat et le canard vont
être en "opposition de phase". Puis brusquement le canard bifurque au plus court
vers le cercle (selon le rayon où il se trouve alors).
Durée mis par le canard = R.(1-1/k)/v
Durée mis par le chat = R.pi/(kv)
Pour que le canard puisse goûter cette herbe (mais très brièvement) sans se faire avaler par le chat, il faut que:
R.(1-1/k)/v < R.pi/(kv) => k < pi+1
Et voilà, avec k=4 ça marche, mais avec k=4,5 ça ne marche plus.

Bon je rerédige ma solution en éclaircissant les points obscures :

1) la psychologie du chat: il cherche à minimiser la distance angulaire entre lui et le canard par rapport au centre de l'étang pour l'attendre au bord. Il choisit le sens de parcours où l'angle est le plus faible (a ou 2pi-a).

2) la stratégie du canard: quand il est strictement à l'intérieur du cercle de rayon 1/4.5 sa vitesse angulaire est plus rapide que celle du chat (en se déplaçant perpendiculairement aux rayons). Il est libre de se placer sur la frontière de ce cercle en maximisant la distance angulaire=Pi (opposé au chat).

Dès qu'il passe de l'autre côté du cercle, sa vitesse angulaire est toujours plus faible que celle du chat. Donc le chat ne changera pas de direction puisque dans le sens où il s'est lancé la distance angulaire au canard diminuera de plus en plus et est < Pi.

A partir de là on peut proposer des stratégies, voilà la mienne :

distance chat/ vitesse = (pi+Arcos(1/4.5))/4.5 = 0.997...
distance canard/ vitesse = sqrt(1-1/4.5²)/1 = 0.974....

Donc le canard s'en sort de justesse

@Mathieu : Bravo ! J'ai adopté la même stratégie que toi pour le chat (la meilleure pour lui il me semble) en première lecture. Cependant, certains n'ont pas adopté le même comportement pour le chat et nous allons devoir répondre à leurs questions. Pour être complet, je te propose donc de prouver que le canard peut y arriver, quelle que soit la stratégie employée par le chat. Il va falloir trouver une parade à certains comportements adoptés par le chat au moment où cela lui semble opportun :

1) Le chat se met à l'arrêt et observe le canard pour savoir quoi faire.

2) Le chat analyse le cap que prend le canard pour se rendre directement au point de la berge correspondant.

@gwen : Je n'arrive pas à visualiser. Qu'est-ce que tu appelles "gauche, "bas", etc... Tu n'as pas un dessin ? Il n'y a aucun calcul à faire ?

Si le chat anticipe, voilà une stratégie intuitive pour le canard quand il sort du petit cercle de rayon 1/4.5:
_Si le chat est exactement à l'opposé de lui il file droit au bord le plus proche
_Sinon il file perpendiculairement au rayon, droit jusqu'au bord opposé au chat.

  Avec cette stratégie, d'une par le canard s'éloignera toujours du centre et atteindra donc le bord, d'autre part il commencera toujours les déplacements "perpendiculaires" à des moments où le chat est opposé à lui par rapport au centre.

  Considérons le dernier déplacement "perpendiculaire" du canard qui le fera aboutir au bord (si il termine en allant droit au bord, c'est que le chat est immobile de l'autre côté de l'étang )

  Au départ de ce dernier déplacement, le chat est donc opposé à lui et part dans le sens opposé du canard. Comme c'est le dernier déplacement, par définition il ne passera plus par l'opposé au canard (même si c'est plus court pour atteindre la destination du canard). Dans ces conditions, le mieux que puisse faire le chat pour attraper le canard, c'est de conserver son élan initiale sans changer de sens .

Le canard est à plus de 1/4.5 du centre, donc l'angle [latex] \theta \in [0,Arcos( \frac{1}{4.5} )][/latex]

  Le rapport entre temps mis par le canard / temps mis par le chat :
[TeX]\frac{4.5sin(\theta)}{\pi+\theta}[/TeX]
  Si on dérive, on trouve que un maximum est atteint pour [latex]tan(\theta)=\pi+\theta[/latex] sur [latex][0,\pi/2][/latex] un peut après [latex] Arcos( \frac{1}{4.5} )[/latex] donc le ratio maximum est bien atteint à 1/4.5 du centre comme pour une stratégie identique à celle de mon post précédent.

Conclusion :
1) avec cette stratégie, quoi que fasse le chat, le canard s'en sort.
2) la solution n'était pas totalement intuitive

Bon, je pense avoir trouvé, c'est beaucoup moins simple.

Pour simplifier les calculs, je suppose que le rayon de l'étang fait 9 unités.

Comme dans l'autre énigme, le canard démarre comme sur le dessin à (1-1/4.5)xR du bord, c'est à dire à 7. Le lapin est diamétralement opposé.



Dès que le canard démarre vers le bord opposé, le lapin fonce dans un sens ou dans l'autre. Sur le dessin, le canard démarre vers le haut, le lapin décide de faire le tour dans le sens trigonométrique (anti-horaire). Le canard change alors tout de suite de cap, et part perpendiculairement au rayon de l'étang, de l'autre côté de celui vers lequel le lapin est parti. (Vers la gauche donc sur mon dessin).

Les calculs se trouvent sur le dessin.

Si le lapin décide de faire demi-tour en comprenant le point d'arrivée du canard, alors dès qu'il change de direction, le canard part dans "l'autre sens", mais toujours de façon perpendiculaire au rayon. On observe sur le schéma ci-dessous qu'au moment ou le canard et le lapin sont de nouveau "diamétralement" opposés, le canard a gagné un peu de distance !



conclusion, le canard parviendra à nouveau à goûter l'herbe du bord

Bah pas grave...  le chat est rouge et le canard est vert. Si le canard bouge comme illustré, le chat doit faire de même .  Et juste avant la limite, le canard peut changer d'avis (aller en bas) et le chat doit faire de même (aller à droite) . Et tout ce petit monde se retrouve aligné avec le centre mais le canard a progressé.

Pour faire simple mais sans calculs car ils me dépassent :

Le canard progresse le long du diamètre "chat-canard" si le chat bouge dans un sens , le canard le contre verticalement ou horizontalement (la meilleure option)

Si le chat persiste, le canard aussi et il broute.
Si le chat renonce, le canard aussi et ils se retrouvent sur le même axe avec une progression du canard.

En fait c'est juste une variation du probleme precedent.
Le canard voyage en spirale du centre jusqu'a un cercle de rayon 1/4.5 (ou encore 2/9) en restant continuellement a l'opposé du chat pendant ce trajet, de telle sorte que en atteignant le cercle de rayon 2/9 le canard est a l'opposé du chat par rapport au centre. La spirale se termine en se confondant avec le cercle.
Ensuite, au lieu de continuer sur le chemin le plus court vers le bord completement a l'opposé du chat, s'il se deplace vers un point qui se trouve a un angle d'environ 65° par rapport au centre, le chemin est un tout petit peu plus long pour le canard, mais beaucoup plus long pour le chat, donnant ainsi plein de temps au canard d'arriver au bord avant le chat.

A l'extreme, le chat peut meme etre jusqu'a 4.603 fois plus rapide que le canard.  Et dans ce cas l'angle optimal est de 77.4° par rapport au centre ou encore de 90° par rapport a un point sur le cercle de diametre 1/4.603, ou encore en continuant en ligne droite sur la tangente a ce cercle.

C'est la réponse que j'avais

Vasimolo

Vasimolo a écrit:

C'est la réponse que j'avais

Vasimolo

C'est marrant, y'a des gens, on les croit pas quand ils écrivent ça et puis y'en a d'autres, on les croit.

Bravo à tous les participants.

Je vous laisse regarder la solution simple et complète proposée par Mathieu w9Lyl6n (complétée dans son 2ème message).
La solution donnée sur le site Diophante complique inutilement avec ses arcs de cardioïde il me semble.

@Franky : Oui, il faut manger le chien. Il en va de ton honneur !