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#126 - 07-03-2015 12:24:27
- titoufred
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combien de lancees de dé avant de... ?
Oui c'est ça nodgim.
Tu jettes un dé jusqu'à obtenir dans l'ordre la séquence 6 puis 6 puis 5. La question est de savoir combien de temps ça va prendre en moyenne.
#127 - 07-03-2015 17:19:38
- enigmatus
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Combien de lancers ed dé avant de... ?
Bonjour, titoufred #124 a écrit:1) Combien de lancers faut-il en moyenne pour voir apparaître "665" ? 2) Combien de lancers faut-il en moyenne pour voir apparaître "566" ? 3) Combien de lancers faut-il en moyenne pour voir apparaître "656" ? 4) Combien de lancers faut-il en moyenne pour voir apparaître une séquence quelconque dans le cas général ?
1) 216 2) 216 3) 222 4) Je ne sais pas
Détail du calcul pour le cas 2) : Soit E(s) le nombre moyen de lancers pour aboutir si on vient d'obtenir la séquence s (s peut valoir ici 5, 56, ou 0 si on n'a rien).
La résolution de ce système de 3 équations à 3 inconnues donne E(0) = 216
Les cas 1) et 3) se résolvent de la même manière. J'ai fait des simulations qui confirment ces résultats.
cas 4) :
Le cas général est traité pour les séquences de "Pile ou Face" dans deux articles de la revue "Pour la Science", respectivement dans le n°38 de décembre 1980, et le n° 409 de novembre 2011.
Édité : Correction du n° de message de titoufred
#128 - 07-03-2015 18:51:42
- titoufred
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combien de lancers fe dé avant de... ?
Ok très bien enigmatus pour les cas 1, 2, 3 !
Je ne connais pas ces articles de Pour La Science.
Quelle est donc la réponse pour le cas 4 ?
Par exemple pour la séquence "65465465", combien de lancers en moyenne ?
Et dans le cas général, comment calculer très rapidement le nombre moyen de lancers avant de voir apparaître une séquence quelconque ?
#129 - 07-03-2015 19:24:07
- enigmatus
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Combien d lancers de dé avant de... ?
@titoufred #128 Dans les articles dont je parle en #127, seul le cas de "Pile ou Face" est traité (équivalent du dé à 2 faces ). Le calcul n'est pas simple, et il n'y a pas de démonstration.
Tout ça pour dire que je ne sais pas répondre à ta question. On pourrait tenter un calcul à la main, mais il y aura un système de 8 équations à 8 inconnues à résoudre.
#130 - 07-03-2015 19:50:27
- titoufred
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Combien de lancers de dé avant de... ??
Les différents cas des séquences à 3 chiffres devraient permettre de conjecturer la formule pour une séquence quelconque.
Il y a une façon de voir (parmi toutes celles évoquées dans ce fil) qui rend les choses simples.
#131 - 07-03-2015 19:54:54
- nodgim
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Combien de lancers de déé avant de... ?
Je dirais que, à la louche, pour obtenir une séquence de k chiffres en base b, il faudra une suite de b^k chiffres pris au hasard, en négligeant les k premiers chiffres.
#132 - 09-03-2015 14:50:08
- titoufred
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Comiben de lancers de dé avant de... ?
Oui, nodgim, à la louche c'est ça. Mais sans la louche ? ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
#133 - 09-03-2015 15:06:51
- enigmatus
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Combien de lancer sde dé avant de... ?
titoufred #128 a écrit:Par exemple pour la séquence "65465465", combien de lancers en moyenne ?
Sauf erreur : 1687428
#134 - 09-03-2015 16:12:31
- nodgim
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Combien de lances de dé avant de... ?
Sans la louche je sais pas. En particulier, j'ai pas encore pigé le 222 (au lieu du 216) lancers pour faire 656. La raison ?
#135 - 09-03-2015 16:31:47
- godisdead
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combien de lancrrs de dé avant de... ?
Je suis un peu étonné par le 216 du cas 1. Pour le cas 2, d'accord pour 216, mais le cas 1 me semble plus difficile que le cas 2, non ?
Le 222 du cas 3 renvoi aux 42 coups nécessaires pour faire 66 alors qu'il suffit de 36 coups pour faire un 65. Le simple fait que le dernier chiffre soit identique au premier rend le tirage plus difficile.
#136 - 09-03-2015 18:24:05
- titoufred
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Combien de lancers de dé vant de... ?
@enigmatus : oui, bravo ! Saurais-tu conjecturer une formule pour le cas général ?
@nodgim : regarde ce qui se passe quand tu réussis les 2 premiers chiffres de la séquence mais que tu foires le 3ème chiffre. Quelle différence y a-t-il entre "566" et "656". Cela te fera comprendre pourquoi "656" est plus long à venir.
@godisdead : Et pourtant, c'est bien 216. Le "66" va être plus long à venir que le "56" certes, mais il y a un phénomène qui va accélérer la fin de "665" par rapport à "566". Vois-tu lequel ? Cela se compense.
#137 - 09-03-2015 18:36:42
- enigmatus
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combien se lancers de dé avant de... ?
titoufred #136 a écrit:Saurais-tu conjecturer une formule pour le cas général ?
Non. Après avoir résolu le problème (presque) à la main, je me suis fait un petit script en python qui génère les équations linéaires et les résout.
#138 - 09-03-2015 19:04:33
- godisdead
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Combien de lanceers de dé avant de... ?
Non, je vois pas ce qui va accélérer l'un par rapport à l'autre. Dans un cas, on cherche un 5 et en cas d'erreur sur un 6, on commencer déjà la séquence suivante alors que dans l'autre, on cherche un 6 et le 5 commence la séquence suivante.
#139 - 10-03-2015 10:09:33
- nodgim
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comvien de lancers de dé avant de... ?
A Godisdead: je dois avoir le cerveau embrumé, je ne vois pas trop, justement, pour quelle raison 66 est plus long à obtenir que 65. Est ce si évident ?
#140 - 10-03-2015 10:43:35
- Palin01
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oCmbien de lancers de dé avant de... ?
Salut, Je me permets de m'incruster pour tenter de répondre à nodgim et godisdead :
Nodgim : Je "donne" la réponse Spoiler : [Afficher le message] Suppose que tu veuilles obtenir 66 et que tu tombes sur un 6. Si tu échoues au suivant tu tombes sur 1,2,3,4, ou 5 et tu ne pourras recommencer à avoir le début de ta séquence (le 6 donc) que dans le tour suivant. Maintenant suppose que tu veuilles obtenir 65 et que tu tombes sur un 6. Si tu échoues au suivant tu tombes sur 1,2,3,4 ou 6. Mais dans ce dernier cas le 6 est déjà le début de ta séquence : en gros tu "gagnes" un coup par rapport à 66.
Godisdead : Dans un cas, on cherche un 5 et en cas d'erreur sur un 6, on commencer déjà la séquence suivante alors que dans l'autre, on cherche un 6 et le 5 commence la séquence suivante.u].
Dans le deuxième cas, le 5 commence la séquence oui , mais dans l'autre le 6 ne la commence pas exactement : Spoiler : [Afficher le message] écrit dans les deux cas la séquence que tu obtiens et compare avec le motif que tu veux. Tu devrais voir ce qui accélère le premier cas par rapport au deuxième.
#141 - 10-03-2015 10:56:27
- godisdead
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Combien de lancers de dé avant de.... ?
Rooo, merci palin, (et merci titou), c'est bon, j'ai enfin compris ![smile](img/smilies/smile.png)
#142 - 10-03-2015 11:34:59
- titoufred
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Combein de lancers de dé avant de... ?
(Pour les autres qui ne verraient pas pourquoi) :
Pour obtenir "665" : Une fois qu'on a "66", si l'on rate le "5", on peut tomber sur un "6", qui nous donne déjà le début "66". Il ne reste plus qu'à faire "5".
Alors que pour obtenir "566" : Une fois qu'on a "56", si l'on rate le "6", on ne peut tomber au mieux que sur un "5", ce qui nous donne juste le premier chiffre de la séquence à obtenir.
Bon, cela ne dit pas pourquoi en moyenne il faut 216 lancers pour ces 2 séquences. Regardez donc le #60 qui donne une façon de voir très simple pour le cas n=2. On peut appliquer un raisonnement analogue ici pour voir pourquoi ça fait 216 sur ces deux séquences.
#143 - 10-03-2015 12:04:11
- nodgim
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Combien de lancers de dé avant de.... ?
OK pour l'explication Palin, merci bien.
#144 - 10-03-2015 12:39:00
- nodgim
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combien de lancers dr dé avant de... ?
titoufred, j'essaie de comprendre ton message 61:
"On appelle En le nombre moyen de lancers pour faire n "6". On appelle Fn le nombre moyen de lancers pour faire n "6" alors qu'on vient juste d'en faire n-1."
En, c'est n "6" consécutifs ? Et Fn "..alors qu'on vient d'en faire juste n-1" au sens de n-1 "6" consécutifs ?
#145 - 10-03-2015 19:21:15
- enigmatus
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combien de lancers de dé zvant de... ?
J'ai trouvé la référence d'un des articles que j'ai cités en #127 : http://www.lifl.fr/~delahaye/pls/213.pdf
La méthode pour calculer l'attente moyenne avant l'apparition d'une séquence de "Pile ou Face" semble s'adapter au cas du dé (voir le Tableau 4, en dernière page de l'article). Je ne sais évidemment pas le démontrer, mais les résultats concordent.
On compare la fin de la chaîne avec son début
On obtient le nombre 10010010, que l'on considère en base 6 (le nombre de faces du dé), ce qui donne en décimal 281238. On multiplie ce résultat par 6 (toujours le nombre de faces), ce qui donne 1687428. C'est le résultat obtenu en #133 par une autre méthode.
J'ai vérifié la similitude des résultats sur de nombreuses séquences aléatoires.
Édité Simplification de la méthode On part de zéro. - s'il y a concordance, on ajoute 1 et on multiplie par 6 - s'il n'y a pas concordance, on multiplie simplement par 6 On a directement le résultat
#146 - 10-03-2015 21:26:45
- titoufred
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combien de lancers de dé avant dz... ?
@nodgim : oui, c'est consécutifs.
@enigmatus : oui, c'est une jolie conjecture. Il reste à la démontrer !
#147 - 12-03-2015 06:07:31
- enigmatus
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combien de lancers de dé acant de... ?
J'ai simplifié la méthode dans mon message #145
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