Non Nodgim , là je ne comprends plus

Vasimolo

Oui je me suis planté, et même mon histoire de symétrie boîte....

On agrandit par prolongement les cotés rouges au détriment des cotés blancs jusqu'à les rejoindre et former un polygone à n cotés au lieu du 2n d'origine. Comme le polygone d'origine est régulier, tous les cotés sont agrandis dans un rapport de k, et donc le total de l'aire aussi, car chaque triangle rouge conserve sa hauteur, seule la base est uniformément agrandie dans un rapport de k.
Si l'aire rouge est R au départ elle devient kR
Si on fait la même chose pour les cotés blancs, pareil: aire B de départ devient kB.
Comme les 2 nouveaux polygones sont entièrement rouge pour l'un, blanc pour l'autre, et de même taille:
kR=kB d'où R=B les aires sont identiques au départ.

Pour ne pas embrouiller, j'ai mis de coté ma seconde idée. En revanche, je ne vois pas trop ce qu'il manque à la 1ère. J'ai ajouté une chose ou 2, mais ça me semble assez clair.

J'étais en train de me demander, lorsque le polygone est irrégulier, mais la longueur totale des cotés rouges est égale à la longueur totale des cotés blancs, quelle forme pouvait avoir la ligne des pts de concourance d'égalité entre les couleurs rouge et blanche. Sans doute une seule ligne, pas droite et qui rejoint obligatoirement les cotés (ne peut former une boucle) ?

J'appelle médiane le segment de droite joignant les milieux de deux côtés opposés.

Tu as raison, je me suis à moitié trompé.

Partant d'un octogone, comme toi, j'ai vu que les parts opposées avaient même couleur et une somme des aires constante. Ce qui rend équitable le partage.

Hélas, ce n'est vrai que pour les polygones réguliers dont le nombre de côtés est multiple de 4. Dans les autres cas, les parts opposées sont de couleurs différentes.

Faut que je cherche encore...

Voici une autre idée :

1.  Dans un polygone régulier donné, la somme des distances d'un point intérieur aux côtés est constante (théorème de Viviani)

2. Or, ces distances correspondent aux hauteurs des parts triangulaires découpées à partir de ce point intérieur.

3. Dans un polygone régulier ayant un nombre pair de côtés (2n), si l'on prolonge les côtés de rang pair (ou de rang impair) on obtient encore un polygone régulier à n côtés.

4. La somme S des distances du point intérieur aux côtés de ce polygone (et donc la somme des hauteurs des parts triangulaires de chacun des protagonistes) est constante (Voir 1.)

5. La part de chacun sera donc égale à la moitié du produit du demi-périmètre du gâteau et de cette constante S.

J'ai hésité à proposer ce gâteau , j'avais peur qu'il soit trop simple

Apparemment ce n'est pas le cas .

On prolonge les côtés jaunes du gâteau :



L'aire du polygone à n côtés : 2A=x(h1+h2+...+hn) .
L'aire en jaune : 2J=a(h1+h2+...+hn) .

On prolonge les côtés rouges :



L'aire du polygone à n côtés : 2A=x(k1+k2+...+kn) .
L'aire en rouge : 2R=a(k1+k2+...+kn) .

Et c'est fini

Merci aux participants .

Vasimolo