Par calculs relativement simples en prenant des rapport de surface, je trouve que le pourcentage où aucun joint n'est chevauché est :

minoré par: 31/27-4*racine(3)/9 = 0.378347789228647 et

majoré par : 28/27-2*racine(3)/9 = 0.652136857577287.

A partir d'un milliard de lancées aléatoires de gâteaux, mon petit code me donne les résultats suivants:

Cas où ça coupe un joint : 0.474116261
Cas où ça ne coupe aucun joint : 0.525883739

Reste à retrouver ces résultats par calcul d'ici la fin du temps imparti

Merci Vasimolo, mais je n'ai jamais fait ce genre de choses. Bon, je regarderai la solution avec plaisir.
@+

Je m'étais posé ce problème lorsque j'étais en terminale ( j'ai trouvé une solution l'année suivante ) quand j'ai découvert l'aiguille de Buffon .

L'approche de Franky était aussi la mienne ( à l'époque je n'avais pas de calculatrice et bien sûr pas d'ordinateur ) .

Vasimolo

Le problème c'est ce sale petit carré numéroté "5". Une jolie courbe en forme de slip le partage en 5 zones, dont deux symétriques. Mais impossible de me dépatouiller de ces 5 intégrales ; je m'en sors pour deux d'entre elles, mais c'est tout.

Je suis également curieux de voir la solution, je dois avoir raté une astuce d'intégration.

Les zones 3 et 4 ne sont-elles pas les mêmes ? Je pensais qu'il y aurait une symétrie par rapport à la diagonale.

J'ai repris mes calculs qui dataient de Mathusalem et il y a une erreur dans la zone 5 que je voyais découpée en quatre parties bordées par quatre segments et un douzième de cercle . Deux des segments sont en fait des quarts d'ellipses le calcul est donc "un peu" plus compliqué ( et explique sans-doute le millième d'écart avec Kossi ) . D'autre part je ballotte un peu dans le slip d'Echibu (  il me manque la partie basse ) , j'ai sans doute encore raté quelque chose

Une illustration ?

Pour résumer : le problème est ouvert

Vasimolo

J'ai bricolé une petite illustration pour les quatre parties de la zone 5 :



Si on exprime en degrés les angles a et b du message #10 alors la probabilité pour que le triangle traverse les joints vaut selon la position de son centre :

zone rouge : 1

zone bleue supérieure : b/60 .

zone bleue inférieure : a/60 .

zone jaune : 1/4+(a+b)/120 .

S'il n'y a pas d'erreur il ne reste plus que quelques intégrales doubles à calculer .

C'est marrant , on se croirait dans la guerre des mondes avec un tripode qui bousille les lignes

A suivre ...

Vasimolo

@Vasimolo

Ton dernier message m'a fait prendre conscience d'une erreur de ma part qui compliquait mes intégrales. Je vais donc retourner à mes calculs des fois que maintenant, ce soit possible.

Par contre, à voir ton dessin, j'ai l'impression qu'il y a aussi une erreur dans ton raisonnement. D'abord, je ne suis pas sûr de la forme des parties bleues, mais surtout, je pense qu'il manque une toute petite 5e zone, en haut à droite, où la proba serait plutôt (a+b)/60. Concrètement, c'est la zone où placer le centre du triangle pour qu'il ne soit jamais possible de couper en même temps les deux lignes, quelle que soit l'orientation du triangle.

C'est peut-être ça qui explique le millième manquant ?

@Echibu : dans la case 5 , le triangle peut être en contact avec les deux bords .

@Franky : ta formule semble trop simple et ta probabilité est trop forte ou trop faible ( la probabilité de quoi ? ) .

Un petit agrandissement de la case 5 :



Les demi-axes des quarts d'ellipses 6 et 7 sont définis par les milieux des segments et les points de contact avec l'arc de cercle rouge .

Il suffirait d'intégrer dans la zone 6 ou 7 pour terminer l'affaire ( je n'ai pas fait ça depuis au moins 20 ans ) .

Vasimolo

Il est clair que cette zone 5 pose problème et je ne suis absolument pas convaincu qu'elle ne soit constituée que de 4 parties .

Vasimolo

Beau travail Echibu

Je suis d'accord avec ton découpage ( je n'avais pas vu que dans la partie E le triangle décollait deux fois des joints dans sa rotation de 120° ) .

La bordure des parts C et D sont des quarts d’ellipse , celle de B est un arc de cercle . Je pense que le bord de E est aussi un arc de cercle mais je n'ai pas encore pris le temps de vérifier .

Le calcul des intégrales dans les parties C et D est sûrement la plus délicate .

A suivre ...

Vasimolo

PS : j'ai du mal à croire en ta formule mais je peux me tromper .

Une grosse boulette dans mon code, un signe moins qui traiait à un endroit où il n'a rien à y faire

J'écrivais ceci:

A partir d'un milliard de lancées aléatoires de gâteaux, mon petit code me donne les résultats suivants:

Cas où ça coupe un joint : 0.474116261
Cas où ça ne coupe aucun joint : 0.525883739

ce résultat est donc erroné. mea maxima culpa

Après une bonne vérification et toujours sur le milliard de lancées aléatoires, je trouve ceci:

Cas où ca coupe : 0.535469636
Cas où ca ne coupe pas : 0.464530364