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 #1 - 15-06-2010 09:59:07

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

légod

Bon allez je me lance... Je fais ça suite à une réponse sur l'énigme de la pyramide de billes...

Je pense que tout le monde connais la démonstration géométrique de :
[TeX]S_1(n)=\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}[/TeX]
où on colle deux morceaux pour faire presque un carré comme là dessous :
http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-pyraint.JPG

la question est comment faire la même chose pour :
[TeX]S_2(n)=\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TeX]
et pour :
[TeX]S_3(n) = \sum_{k=1}^{n}k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = S_1(n)^2[/TeX]
pour ceux qui veulent faire des dessins en 3D il y a google sketchup gratuit en ligne qui permet de faire ca facilement.

Je me suis jamais attaqué à au-dessus de [latex]S_3(n)[/latex], mais ça doit être faisable, quoique ici sur un forum ca deviendrait compliqué je pense (La technique étant réalisée dans une dimension liée à l'égalité...).

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 #2 - 15-06-2010 13:24:48

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Léogs

on va construire un parallélépipède rectangle de dimension n; n+1 et 2n avec 6 morceaux identiques.

 #3 - 15-06-2010 17:16:21

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 965

Léos

1^3+ 2^3+ 3^3+....+n^3 = (1+2+3+...+n)²
La "preuve sans mots" de cette égalité à été proposée en 1984 par Solomon Colomb.
http://img269.imageshack.us/img269/2825/solomoncolomb.png
Sur ce scan du manuel Math'X de TS, on voit un carré de côté (1+2+3+4+5+6+7+8) qui se partage en 1 carré de côté 1, plus 2 carrés de côté 2, plus 3 carrés de côté 3, plus... , plus 8 carrés de côté 8.

Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 15-06-2010 18:55:04

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Léégos

@gabrielduflot : oui mais encore faut-il le faire

@scrablor : oui j'entends bien (je connaissais pas cette solution hein) mais ce n'est pas ce que je demande. Bien que je sois maintenant jaloux de cette belle démonstration, ma question c'est une généralisation de la technique pour $S_2(n)$

 

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