On a la même conjecture, gwen !
Mais sont-ce les seuls ?

Je (ou plutôt mon ordi... ) ne trouve que deux solutions si le tout est majoré par 2011.
a=1,b=7,c=9,d=63
a=1,b=31,c=33,d=1023

J'ai hâte de voir la solution pour trouver la formule générale.

P.S:La case réponse valide 1-7-9-63;1-31-33-1023 mais ne valide ni 1-7-9-63 ni 1-31-33-1023.

Edit: Ok, je viens de comprendre.
SI il n'y a qu'une solution, elle valide la forme a1-b1-c1-d1
SI il y a deux solution, elle valide la forme a1-b1-c1-d1;a2-b2-c2-d2

(Edit: J'avais oublié le détail qui dit qu'ils doivent être impair... )

I'm back pour la question 2.
Et sans mon ordi cette fois!

Tout d'abord, pour respecter (ii), réécrivons [latex]d[/latex] en [latex]4^n-a[/latex], [latex]n[/latex] entier.
Nous minorerons la valeur de [latex]n[/latex] plus tard. (spoiler:elle dépend de [latex]a[/latex])

On a alors [latex]a.d=4^na-a^2=(2^n\sqrt{a}-a)(2^n\sqrt{a}+a)=b.c[/latex]
Choisissons donc [latex]b=2^n\sqrt{a}-a \text{ et } c=2^n\sqrt{a}+a[/latex] pour respecter (iv)

Pour respecter (iii), il nous faut maintenant [latex]b+c[/latex], un multiple de 4. Autrement dit un entier [latex]k[/latex] avec
[TeX]b+c=2^{n+1}\sqrt{a}=4^k[/TeX]
Cela nous amène deux conditions: [latex]\left{
\begin{tabular}{l}
\bullet \; n \text{ impair}\\
\bullet \; \sqrt{a} \text{ multiple de 4}
\end{tabular}[/latex]


Maintenant, pour la minoration de [latex]n[/latex] et afin de respecter (i),
On veut d'un côté: [latex]a<b\Rightarrow a<2^n\sqrt{a}-a \Rightarrow 2a<2^n\sqrt{a} \Rightarrow 2\sqrt{a}<2^n[/latex]
De l'autre côté: [latex]c<d\Rightarrow 2^n\sqrt{a}+a<4^n-a \Rightarrow 2^n\sqrt{a}+2a<2^{2n} \Rightarrow 2^n\sqrt{a}<2^{2n} \Rightarrow \sqrt{a}<2^n[/latex]

On choisit la plus restrictive des deux, celle qui nous vient de [latex]a<b[/latex] pour obtenir au final:
[TeX]n>\log_2(\sqrt{a})+1[/latex] (qui sera un entier car il faut que [latex]\sqrt{a}[/latex] soit un multiple de 4)

Conclusion (Edit: Conclusion a peu près fausse car je suis quand même un gros boulet parfois )

Si l'on choisit:[latex]\left{
\begin{tabular}{l}
\bullet \; a \text{ avec }\sqrt{a} \text{ multiple de 4}\\
\bullet \; n \text{ impair avec } n>\log_2(\sqrt{a})+1
\end{tabular}[/TeX]
Alors les quadruplets [latex]\{a \;,\; 2^n\sqrt{a}-a \;,\; 2^n\sqrt{a}+a \;,\; 4^n-a \}[/latex] sont solutions du problème.

Un exemple (Edit: Exemple foiré car quand je suis un boulet, j'insiste et signe!)

Avec [latex]a=16[/latex] et donc [latex]\sqrt{a}=4[/latex], et [latex]n=5[/latex]

On a bien:
(i)  [latex]16<2^5\times 4-16<2^5\times 4-16<4^5-16 \Rightarrow 16<112<144<1008[/latex]
(ii)  [latex]a+d=1024=4^5[/latex]
(iii) [latex]b+c=256=4^4[/latex]
(iv) [latex]\left{
\begin{tabular}{l}
a.d=16128\\
b.c=16128
\end{tabular}[/latex]

Voilà pour une forme générale.
Pour l'unicité, là, c'est bien au-delà de mes capacités.

Edit:Du coup, la seule valeur de a pour que ça marche, c'est 1 avec [latex]\sqrt{1}=4^0[/latex]

Re-Conclusion

Si l'on choisit:[latex]\left{
\begin{tabular}{l}
\bullet \; a=1\\
\bullet \; n \text{ impair avec } n>1 \text{ donc } n\ge 3
\end{tabular}[/latex]

Alors les quadruplets [latex]\{1 \;,\; 2^n-1 \;,\; 2^n+1 \;,\; 4^n-1 \}[/latex] sont solutions du problème.

Je conjecture que les quadruplets sont de la forme [latex](1, 2.4^p-1, 2.4^p+1, 4^{2p+1}-1)[/latex]
Ce qui donne pour p=1: (1, 7, 9, 63) et pour p=2: (1, 31, 33, 1023).

Je cherche la démonstration. J'aimerais montrer que forcément a=1 mais ça n'a pas l'air simple.
Ni d'ailleurs le rapport entre les 2 puissances de 4 en jeu. Je ne vois pas bien comment utiliser ad=bc...
Je cherche.

Piste de recherche:

On pose: [latex]a+d=4^p et b+c=4^q[/latex]
On peut supposer sans restreindre que: [latex]p\ge q[/latex].
On a conjecturé que dans ce cas, p=2q-1.

ad=bc s'écrit [latex]a(4^p-a)=b(4^q-b) \Leftrightarrow b^2-4^qb+4^pa-a^2=0[/latex], équation de degré 2 en b.
Son discriminant vaut: [latex]\Delta=4^{2q}-4(4^pa-a^2)=4(4^{2q-1}-4^pa+a^2)[/latex].

On cherche p, q et a pour que ce discriminant soit un carré.
On voit que p=2q-1 et a=1 conviennent ce qui nous donne [latex]\Delta=4[/latex] et les valeurs de b et c: [latex]b,c=\dfrac{4^q\pm2}2=2.4^{q-1}\pm1[/latex], a vaut 1 et d vaut [latex]4^p-1[/latex], ce qui nous donne bien les solutions que nous avons conjecturé.

Je cherche donc maintenant à montrer que c'est la seule façon d'avoir un carré pour le discriminant. Je n'ai rien pour le moment. Comment caractériser que  [latex]4^{2q-1}-4^pa+a^2[/latex] est un carré? J'ai essayé avec les triplets de pythagore ([latex](x^2-y^2, 2xy, x^2+y^2)[/latex]) mais on arrive à un autre discriminant identique pour lequel il faut qu'il soit un carré. J'ai regardé les congruences, les facteurs premiers, mais sans succès. J'ai considéré cette expression égale à un carré comme un équation en a du second degré mais on retombe évidemment sur un discriminant similaire (en maths comme en physique rien ne se crée, rien ne se pert, tout se transforme, le but est que la transformation soit plus simple ).
Je pense qu'on doit pouvoir y arriver mais avec de l'artillerie plus lourde (fonctions elliptiques, ...) mais ça devient plus dur...

Je dirais que la forme générale est la suivante: pour tout p >0
[TeX]a=1[/TeX]
[TeX]b=2^{2p+1}-1[/TeX]
[TeX]c=2^{2p+1}+1[/TeX]
[TeX]d=4^{2p+1}-1[/TeX]
Pour vérifier ça, c'est facile
a<b car p>0
b<c car c=b+2
c<d car p>0

a+d est une puissance de 4
b+c aussi : 4^(p+1)

bc = (2^(2p+1))^2 -1^2 = 4^(2p+1) - 1 = ad

Par contre, montrer que toute solution ressemble à ça, c'est plus ardu, j'y réfléchirai.

Au début, je pensais à une démonstration par l'absurde pour prouver l'unicité mais je vois vraiment pas par quel bout le prendre.

Là je réfléchis à :
Écrivons [latex]b+c=4^k=2^{2k}=2\times 2^{2k-1}[/latex]
Alors l'ensemble des nombres [latex]b[/latex] et [latex]c[/latex] est l'ensemble des nombres qui s'écrivent:
[TeX]b=2^{2k-1}-i[/latex] et [latex]c=2^{2k-1}+i[/latex] avec [latex]i[/latex] , impair [latex]\in \{1;2^{2k-1}-3\}[/TeX]
([latex]-3[/latex] car on doit avoir [latex]b>1[/latex])

Toujours en écrivant [latex]d=4^n-a[/latex] et avec [latex]a.d=b.c[/latex], j'arrive à:
[TeX]i= \sqrt{a^2-4^n a+4^{2k-1}}[/TeX]
Maintenant, reste à prouver que la seule valeur possible de [latex]i[/latex] est 1.

Pour le moment, c'est pas beau à voir et j'ai peur de m'être lançé sur une mauvaise voie mais je pense que je peux toucher au but si je paufine un peu tout ça, en particulier en cherchant une relation entre [latex]k[/latex] et [latex]n[/latex].

J'ai malheureusement pas eu le temps de m'y remettre dernièrement.

La suite au prochain épisode

Edit: J'ai enlevé le "demi" devant la racine, c'était moche et ça plombe le calcul.

Il y a effectivement un peu plus de travail à faire, mais tu as une idée intéressante que je vais essayer de développer.

En effet, le fait que ad=bc signifie que le déterminant des 2 vecteurs (a,b) et (c,d) est nul, et donc que les vecteurs sont colinéaires !
Il existe donc k tel que c=ka et d=kb.

Merci pour cette idée, peut-être que ça peut aboutir à quelque chose

Il s'agit maintenant de démontrer que les seules valeurs pour k sont de la forme [latex]2^{2n+1}+1[/latex], n>1

Kikuchi a écrit:

Si c=k.a, ce sera plutôt [latex]k=2^{2n+1}+1[/latex]

Exact, j'ai corrigé.

Pour compléter ma réponse :
k est entier en effet [latex]k=\frac{r}{s} \ s<r \ pgcd(s,r)=1 \Rightarrow s|pgcd(a,b) \ a+kb=4^n \Rightarrow s| pgcd(a,b)|4^n \Rightarrow s=2^{\alpha}|rb \Rightarrow s|b \Rightarrow \alpha=0. [/latex]

Ecrivons [latex]k^2-1=2^lp[/latex] avec p impair. On ne peut avoir a la fois [latex]k=1[p][/latex] et [latex]k=-1[p][/latex]
Supposons [latex]k=1[p][/latex] alors [latex]k-1=tp[/latex] d'où [latex](k+1)tp=2^lp \ k+1=2^u \ k^2-1=2^{u+1}(2^{u-1}-1) \ p=2^{u-1}-1[/latex]
Maintenant [latex]4^{m-n}=1[p][/latex] et dans le plus petit cas  [latex]m-n=u-1[/latex] mais [latex]k>4^{m-n} \ 2^{u}-1>4^{u-1}[/latex] ce qui est faux

([latex](2^{u-1}-1)^2 \geq 0[/latex] ) donc [latex]k=-1[p][/latex] pour les mêmes raisons [latex]k-1=2^u[/latex]

La forme générale à trouver était la suivante :
[TeX]a=1
b=2^{2n+1}-1
c=2^{2n+1}+1
d=4^{2n+1}-1[/TeX]
On a bien alors
(i) [latex]a < b < c < d[/latex]

(ii) [latex]a + d = 4^{2n+1}[/latex] puissance de 4

(iii) [latex]b + c = 4^{n+1}[/latex] puissance de 4

(iv) [latex]ad=bc=4^{2n+1}-1[/latex]

Ce qui donne les quadruplets suivants :
1 7 9 63
1 31 33 1023
1 127 129 16383
etc.

Pour montrer que ce sont les seules solutions, je vous invite à lire ce qu'a écrit Yanyan, a priori je pense que c'est correct, pas simple, mais efficace ! A moins qu'un chipoteur vienne prouver le contraire

@dhrm : j'avais pas vu ton post, mais l'énoncé précisait que les nombres étaient impairs