Une petite précision

Chaque rotation de 45° ( dans un sens ou dans l'autre ) compte pour un déplacement donc une rotation de 135° compte pour 3 déplacements .

Vasimolo

On sent bien que ça va pas être possible, et quelques dessins semblent le confirmer rapidement.

Quelques notations, on considère le plan complexe :
A1 = (0,0)
B1 = (1,0)

Je vais changer un tout petit peu ta notation, je considère qu'une rotation autour de A_x transforme A_x en A_x+1 avec A_x = A_x+1 et transforme B_x en B_x+1

Du coup, on suppose qu'il existe un enchainement de n mouvements qui marche
An = (1,0)
Bn = (0,0)

Raisonnons sur les coordonnées de B_i
Evidemment toute rotation autour de B_i ne changera pas les coordonnées des B_i

Par contre toute rotation autour des A_i modifiera les coordonnées des B_i
On ne considère que des rotations élémentaires, c'est d'un dire des rotations de Pi/4 dans le sens direct.

Par ailleurs considérons l'angle 'alpha_i' entre le vecteur A_i B_i et l'axe des réels.
Sans surprise  cet angle ne peut valoir que K*Pi/4 avec K entre 0 et 2Pi
Dans toute la suite je vais noter x = cos(Pi/4) (ce n'est pas une inconnue juste une notation.)
Regardons l'effet d'une rotation de Pi/4 autour de A_i sur les coordonnées de B_i en fonction de 'alpha' :



Attention je parle bien de rotation élémentaire. Par exemple une rotation d'un angle de 90° autour de A1 n'est pas à aller chercher dans la colonne 90°.
Il s'agit de la somme d'une rotation de 45° avec alpha = 0 et d'une autre de 45° avec alpha = 45°.
Ainsi les cordoonnées de B_2 vont varier de x-1-x = -1 en abscisse et x+1-x = +1 en ordonnée. En effet après une rotation de 90° de centre A1, on a B2 = (0,1).

Maintenant que tout est posé, revenons à notre enchainement de rotation qui transforme B1 (1,0) en B_n (0,0)

il existe donc des rotations autour des B_i qui ne modifieront pas les coordonnées de B_i et des rotations autour de A_i comme suit :
a rotations telles que alpha_i = 0°
b rotations telles que alpha_i = 45°
....
h rotations telles que alpha_i = 315°
a,b,c,d,e,f,g,h étant des entiers naturels évidemment.

Les coordonnées finales du point B vont varier de :
(a-b-c+d-e+f-g-h)x + (-a-d+e+h) = -1 en abscisse
(a-b+c-d-e+f-g+h)x + (b-c-f+g) = 0 en ordonnée

x = cos (pi/4) = sqrt(2)/2 étant irrationnel on obtient le système suivant :

(1) a-b-c+d-e+f-g-h = 0
(2) -a-d+e+h = -1
(3) a-b+c-d-e+f-g+h = 0
(4) b-c-f+g = 0

soit (2)+(3)+(4) => 2 (h-d) = -1 or h et d sont des entiers CONTRADICTION.

Bon je trouve la preuve vraiment pas élégante et je pense qu'il doit exister un moyen très simple de montrer l'impossibilité, mais j'ai beau chercher je trouve pas mieux pour l'instant.


Allez en cadeau : en bleu une partie des Ai possibles et en vert une partie des Bi possibles. Le problème marcherait à condition qu'un point vert et un point bleu soient confondus.


Pour aller un peu plus loin : Il me semble que tout vient du fait que cos(45°) est irrationnel.

Pour que le problème fonctionne il me semble qu'un angle 'teta' de rotation tel que cos(teta) = 1/k, k entier > 1 marche
ainsi que tout angle de la forme teta/n, n entier (Puisque si ça marche avec teta, suffit de faire des rotations de n*teta à chaque fois).
Le même problème avec 60° est trivial, et par conséquent, 30°, 20°,15°,12°,10°,6°,5°,4°,3°,2°,1° aussi.

Je pense que c'est impossible, est-ce que je suis sur la bonne voie ?

Une petite réponse en passant

TiLapiot : J'ai une réponse très simple ( et personnelle ) .
Yoka : ça me semble correct mais je t'assure qu'il y a plus simple ( la généralisation attendra un peu ) .
Nicolas : tu es sur la bonne voie
Nodgim : ben non

En tout cas , bon courage à ceux qui cherchent encore , je vais réfléchir à un indice quand on voudra bien me laisser un peu de temps libre .

En attendant , bonne recherche !!!

Vasimolo

Une façon de voir les choses : une extrémité de l'allumette de coordonnées [latex](a+\frac{b}{\sqrt{2}},c+\frac{d}{\sqrt{2}})[/latex] peut être représentée par le quadruplet d'entier [latex](a,b,c,d)[/latex] . Il reste à trouver un invariant de [latex](a,b,c,d)[/latex] correspondant à chaque extrémité de l'allumette .

Vasimolo

PS : Nicolas , c'est bon

OK nodgim

Pour l'instant personne n'a trouvé l'invariant correspondant à chaque extrémité de l'allumette . Plus précisément quel est l'ensemble des points du plan où l'on peut amener l'extrémité rouge de l'allumette ?

Vasimolo

PS : pour ceux qui n'auraient pas deviné le problème initial n'a pas de solution

Je voulais dire : si le bout rouge de l'allumette est en [latex](0,0)[/latex] peut-on , par rotations , le mettre en [latex](127-31\sqrt 2,-624+45\sqrt 2)[/latex] ou bien l'autre extrémité ou ni l'un ni l'autre ?

On peut répondre instantanément .

Vasimolo

Voilà comment j'avais vu les choses .



Si on note (a',b',c',d') l'autre extrémité de l'allumette on remarque que a'+b'+c' n'a pas la même parité que (a,b,c,d) ce qui donne un critère immédiat pour la "couleur" des points de coordonnées [latex](a+b\sqrt{2},c+d\sqrt{2})[/latex] . On remarque aussi que b et d gardent la même parité donc le point [latex](1+2\sqrt{2},4-\sqrt{2})[/latex] ne sera jamais l'extrémité de l'allumette . Il semble que si b et d ont la même parité a+b+c pair donne une position pour le bout rouge et a+b+c impair pour l'autre extrémité , le point que j'ai proposé à nodgim serait donc un point rouge . On peut chercher un trajet minimum pour amener l'allumette sur ce point , avis aux amateurs

Pour les autres angles j'avoue ne pas y avoir réfléchi mais j'attends toutes vos suggestions .

En tout cas merci pour la participation

Vasimolo

J'avoue ne pas comprendre en quoi [latex]\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \notin \mathbb{Q}[/latex] empêche le retournement de l'allumette

Vasimolo

Je ne vois pas dans l'énoncé l'interdiction d'utiliser la 3eme dimension, puisqu'on parle d'alumette et de table qui sont des objets en 3 dimensions.
Comme Il suffit donc de faire 3 rotations de 60 degrés pour retourner l'allumette,
Pour chaque rotation de 60 degrés, on fait 2 rotations de 45 degrés (en 3 dimensions) ou on decrit une pyramide avec l'allumette dont l'angle a la base est de 60 degrés, mais formé par 2 mouvements de 45 degrés:
- premier  mouvement on fait pivoter l'alumette de 45 degrés en montant a un angle de 45 degrés, ce qui decrit a la base un angle de 30 degrés.
- 2eme mouvement on fait pivoter l'alumette de 45 degrés en descendant de l'autre coté de la pyramide a un angle de 45 degrés, ce qui decrit a la base un autre angle de 30 degrés. on a donc effectué un angle de 60 degrés avec 2 angles de 45 degrés. On repete le meme principe pour les 2 autres angles a 60 degrés, et on a résolu le probleme en 6 mouvements.

Joli problème sur lequel j'ai pas mal cherché.
Je suis un peu déçu qu'il n'ait pas de solution mais l'intervention des irrationnels m'avait amené à le suspecter.
Merci

Tous les 60/n, n étant entier sont solutions.

Il me semble que les seuls autres candidats possibles sont à chercher parmi les angles de la forme 180/n.

(Pour les angles plus grands que 180° on peut se ramener à leur complémentaire à 360°)