Enigme Pyramides avec billes 2/2 @ Prise2Tete

niko1384 · #26

Bonjoure je suis un fin de 6ème et j'ai trouver la réponse sans faire d'équation .
PS:vos calcule son trop dévelopé ,il y a plus facile.

gwen27 · #27

Oui niko1384, la récurrence est basique mais elle nécessite deux étapes. Le plaisir de certains est aussi de chercher la formule qui va avec. Ce n'est plus du niveau 6è ou 4è , mais bon, chacun son plaisir et les règles mathématiques qui vont avec sont tout aussi intéressantes.

langelotdulac · #28

vos calcule son trop dévelopé ,il y a plus facile.

C'est cool d'être bon en maths, ça va te laisser du temps pour bosser l'orthographe

MthS-MlndN · #29

C'est sensiblement ce que je m'apprêtais à répondre

PS : le prochain qui poste des formules super-longues qui démolissent la mise en page, je lui fais manger ses parents, scrogneugneu

Mouah Tralalaà 1231 · #30

100 e = a 868 billes

Franky1103 · #31

Pour 100 étages, c'est 171 700 billes.
Le problème est résolu dans ce topic.

golgot59 · #32

OK, vous avez tous l'air à peu près d'accord pour dire que les narrations de recherche, c'est du caca.

Je suis prof de Maths en 4eme à mi-temps, et le complément en seconde.

J'ai justement donné du caca à faire pendant les vacances à mes élèves, honte sur moi !

A mes 4eme, comme je suis sadique, je leur ai demandé de résoudre un problème qui se résout très facilement grâce aux systèmes de 2 équations à 2 inconnues, et à mes secondes un problème qui s'apparente à celui du sujet ici présent.
(Mais j'ai l'intention de le donner aussi à mes 4eme plus tard dans l'année, alors que mes secondes galère déjà, vous vous rendez compte ! Et encore, j'omets de dire que je l'avais déjà donné à des 5eme il y quelques années).

Avant de critiquer, je vous donne quelques indications sur ce qu'est l'objectif d'une narration de recherche : Rechercher, et raconter sa recherche.

Pour info : j'ai mit 19/20 à une élève qui n'avait pas trouvé le résultat il y a 5 ans, tant sa narration était intéressante et bien construite, avec des détails sur sa réflexion, des schémas, des essais ratés mais expliqués, etc.

J'avais demandé à des élèves de 5eme de me trouver le nombre de carte dans un château de 4 étages, puis 5, 12, 20, et 108 étages. Vous seriez étonnés de voir toutes les façons d'attaquer ce problème et la richesse des productions, tout ça dans un collège ZEP.

Bien sûr, on peut toujours déballer l'arsenal de compet' qui résout le problème en 1 minute, mais l'intérêt n'y est pas. Ce qui est noté, c'est la recherche. Pas le résultat.

J'ai d'ailleurs aussi déjà mit 2/20 à un élève qui m'avait donné les 5 bonnes réponses (mais que ça).

Bref, ce genre d'exercice est formidable pour faire comprendre aux élèves d'abord comment il réfléchissent eux-même, mais aussi comment on peut arriver au but sans forcément connaître les outils appropriés, avec un peu de persévérance et quelques bonnes idées.

Je suis déçu de voir les réactions de certains de ce site face à un exercice qui incite "enfin" les élèves à réfléchir, je pensais que c'était justement ça que vous aimiez vous-même...

Franky1103 · #33

@golgot59
Ne nous fâchons pas: personne ne critique personne ici. Personnellement (et c'est le sens de mon post), je suis surpris de voir un visiteur relancer un sujet dont la solution a été très détaillée.
Au passage, je salue d'ailleurs la façon dont cette solution a été amenée petit à petit par les auteurs des posts pour essayer de "faire sentir" ce problème aux "novices".
A aucun moment, je n’ai perçu quelqu’un "étanche" aux narrations de recherche et je suis désolé d’avoir semblé l'être.

golgot59 · #34

Pas de problème, je me suis peut-être un peu emballé, mais dire qu'il faut sortir de prépa pour calculer ceci, ou que ce problème revient à calculer une turbine d'avion, faut pas pousser non plus...

Bref, en plus de ça j'avais pas vu que le topic de départ date de 2 ans bien tassés, donc je m'excuse à mon tour et à nouveau de m'être emporté.

Vive les narration de recherche, (même si les parents galèrent autant que leurs rejetons.)

Franky1103 · #35

Pas de soucis pour moi.
Je sais combien il est difficile, pour en avoir fait l'expérience, de faire "sentir" une logique mathématique, même en évitant de grandes formules décourageantes.

nodgim · #36

Juste une petite remarque: construire une pyramide avec des billes, à part les coller ensemble....

nodgim · #37

golgot59 a écrit:
OK, vous avez tous l'air à peu près d'accord pour dire que les narrations de recherche, c'est du caca.

Je suis prof de Maths en 4eme à mi-temps, et le complément en seconde.

J'ai justement donné du caca à faire pendant les vacances à mes élèves, honte sur moi !

A mes 4eme, comme je suis sadique, je leur ai demandé de résoudre un problème qui se résout très facilement grâce aux systèmes de 2 équations à 2 inconnues, et à mes secondes un problème qui s'apparente à celui du sujet ici présent.
(Mais j'ai l'intention de le donner aussi à mes 4eme plus tard dans l'année, alors que mes secondes galère déjà, vous vous rendez compte ! Et encore, j'omets de dire que je l'avais déjà donné à des 5eme il y quelques années).

Avant de critiquer, je vous donne quelques indications sur ce qu'est l'objectif d'une narration de recherche : Rechercher, et raconter sa recherche.

Pour info : j'ai mit 19/20 à une élève qui n'avait pas trouvé le résultat il y a 5 ans, tant sa narration était intéressante et bien construite, avec des détails sur sa réflexion, des schémas, des essais ratés mais expliqués, etc.

J'avais demandé à des élèves de 5eme de me trouver le nombre de carte dans un château de 4 étages, puis 5, 12, 20, et 108 étages. Vous seriez étonnés de voir toutes les façons d'attaquer ce problème et la richesse des productions, tout ça dans un collège ZEP.

Bien sûr, on peut toujours déballer l'arsenal de compet' qui résout le problème en 1 minute, mais l'intérêt n'y est pas. Ce qui est noté, c'est la recherche. Pas le résultat.

J'ai d'ailleurs aussi déjà mit 2/20 à un élève qui m'avait donné les 5 bonnes réponses (mais que ça).

Bref, ce genre d'exercice est formidable pour faire comprendre aux élèves d'abord comment il réfléchissent eux-même, mais aussi comment on peut arriver au but sans forcément connaître les outils appropriés, avec un peu de persévérance et quelques bonnes idées.

Je suis déçu de voir les réactions de certains de ce site face à un exercice qui incite "enfin" les élèves à réfléchir, je pensais que c'était justement ça que vous aimiez vous-même...

Je suis tout à fait d'accord avec tes idées.
Tu vois, tu n'es pas si seul que ça...
Cela dit, si tu as mis 2/20 à cet élève qui avait donné les 5 bonnes réponses, j'espère vraiment qu'il ne les a pas trouvées lui même, sinon, tu passes peut être à coté de quelqu'un largement au dessus du lot. Il faut faire attention...

gwen27 · #38

Mais non, ils ont des triangles de toutes les tailles comme au billard.

gwen27 · #39

nodgim a écrit:
Cela dit, si tu as mis 2/20 à cet élève qui avait donné les 5 bonnes réponses, j'espère vraiment qu'il ne les a pas trouvées lui même, sinon, tu passes peut être à coté de quelqu'un largement au dessus du lot. Il faut faire attention...

Si la consigne est de décrire les phases de sa recherche, même un élève très intelligent qui trouverait l'astuce devrait la justifier par le bref raisonnement qu'il a trouvé.

Des réponses seules ne valent donc pas grand chose. Et je suppose qu'un tel élève aurait bien d'autres occasions de montrer ses facultés.

Vasimolo · #40

La recherche d'accord , en maths on ne fait que ça .

La narration de recherche

Surtout au collège

Vasimolo

nodgim · #41

gwen27 a écrit:
Mais non, ils ont des triangles de toutes les tailles comme au billard.
http://images1.wikia.nocookie.net/__cb2 … illard.jpg

Or parlait de billes, et, ma foi, sauf si celles de la 1ère couche ne sont pas dans un creux, je doute que ça tienne tout seul...

gilles355 · #42

Le problème des narrations de recherches est que d'une part il faut en trouver des supers originaux car maintenant avec internet on peut surement les trouver et d'autre part il faut aussi prendre conscience que beaucoup d'élèves ont des prof de soutien scolaire qui vont les aider énormément.

golgot59 · #43

Merci pour vos messages qui font du bien !

Le problème des narrations de recherches est que d'une part il faut en trouver des supers originaux car maintenant avec internet on peut surement les trouver et d'autre part il faut aussi prendre conscience que beaucoup d'élèves ont des prof de soutien scolaire qui vont les aider énormément.

C'est juste, mais comme je le dis à mes élèves : Je mets des points de franchise !

J'ai une de mes élèves de 5eme qui m'avais écrit après quelques essais infructueux : "je n'ai pas d'autres idées, mais j'ai trouvé dans un livre de maths que je pouvais utiliser de façon astucieuse les systèmes de 2 équations à 2 inconnues. Je pose x le nombre de ..."

Pour la sincérité, elle repassera ! Mais elle a quand même eu une note correcte car le début était plutôt bien de mémoire.

J'ai aussi pris les devant en leur précisant qu'ils trouveraient facilement la réponse sur le net, mais que cela ne les aiderait pas puisque ce n'est pas la recherche sur le net que je note, mais bien la leur...

En revanche, je leur dis que si ils sont arrivés à bout de leurs idées, ils peuvent demander de l'aide autour d'eux, mais attention, demander de l'aide ne signifie pas le faire à leur place : Où sera la recherche sinon ? Et tant qu'à demander de l'aide, autant que ce soit à un prof de maths qui cherchera à aiguiller l'élève, plutôt qu'à un copain qui lui donnera la réponse toute faite, ou à une grande soeur en prépa qui n'aura pas le temps d'expliquer mais lui fera l'exo en 1 minute.

Pour finir, c'est vrai qu'il est très difficile de trouver un sujet original pour une narration de recherche (les problèmes de vasimolo sont très originaux mais malheureusement introuvable... )

godisdead · #44

gwen27 a écrit:
nodgim a écrit:
Cela dit, si tu as mis 2/20 à cet élève qui avait donné les 5 bonnes réponses, j'espère vraiment qu'il ne les a pas trouvées lui même, sinon, tu passes peut être à coté de quelqu'un largement au dessus du lot. Il faut faire attention...
Si la consigne est de décrire les phases de sa recherche, même un élève très intelligent qui trouverait l'astuce devrait la justifier par le bref raisonnement qu'il a trouvé.

Des réponses seules ne valent donc pas grand chose. Et je suppose qu'un tel élève aurait bien d'autres occasions de montrer ses facultés.

Je vois bien sur une feuille un truc du genre :

Raisonnement trivial !
les réponses sont : x;x;x;x;x

ElsamatHeuse · #45

Moi aussi je suis en 4° et j'ai exactement le meme DM ! c'est de la folie surtout sachant que mon prof n'a pas encore fait de cours dessus et qu'il ne nous a rien expliqué ! Heureusement que je suis bonne en maths et que je suis arrivée a trouver des reponses moi meme mais je prfr verifier !!!!

prof de collège · #46

MthS-MlndN a écrit:
C'est un DM de quatrième, ça ?! Je me permets de te développer une réponse complète, mais dis à ton prof, de la part d'un prof de maths en prépa ingénieur, que donner cet exercice à des élèves de quatrième revient à lui faire faire un dimensionnement de turbine d'avion : horriblement dur par rapport aux connaissances requises à son niveau.

Un étage : une bille.
On ajoute un triangle de trois billes en-dessous de cette bille pour faire une pyramide à deux étages.
On rajoute encore un triangle, de côté trois billes (qui en comptera donc 6) en-dessous de cette pyramide (en supposant qu'on colle les étages au fur et à mesure pour des raisons pratiques :lol:) pour une pyramide à trois étages.
Etc.

Combien y a-t-il de billes dans chacun des triangles rajoutés ? A l'étage N, je rajoute un triangle de N billes de côté, voilà par exemple ce que ça donne pour N=6 :

*
* *
* * *
* * * *
* * * * *
* * * * * *

En comptant ligne par ligne, il y a 1+2+3+4+5+6=21 billes dedans. De manière générale, le triangle de côté N a 1+2+3+...+N billes, soit N(N+1)/2 billes.

(Pour la formule de somme 1+2+...+N = N(N+1)/2, tu peux jeter un oeil à cette page : http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_%28a … A9tique%29)

Si ma pyramide a N étages, on somme donc les billes de chacun des étages, sachant que le k-ième étage a k(k+1)/2 billes pour tout k :
[TeX]N_{billes}[/TeX]
[TeX]= \sum_{k=1}^{N} \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)[/TeX]
[TeX]= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} \left( k^2 + k \right)[/TeX]
[TeX]= \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{N} k^2 + \sum_{k=1}^{N} k \right)[/TeX]
[TeX]= \frac{1}{2} \left( \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} + \frac{N(N+1)}{2} \right)[/TeX]
[TeX]= \frac{1}{2} \left( \frac{N(N+1)(2N+1)+3N(N+1)}{6} \right)[/TeX]
[TeX]= \frac{1}{2} \left( \frac{N(N+1)(2N+4)}{6} \right)[/TeX]
[TeX]= \frac{N(N+1)(N+2)}{6}
[/TeX]
Dans l'ordre des étapes :
- j'écris la somme (la lettre grecque Sigma, c'est-à-dire Σ, veut dire "somme) des billes de tous les étages,
- je sors la fraction 1/2 de la somme,
- je développe k(k+1) en k^2+k,
- je sépare les sommes des k^2 et des k,
- j'utilise les formules de sommes que tu as, par exemple, dans le lien que j'ai donné au-dessus, pour les valeurs de ces deux sommes,
- je mets les deux fractions obtenues au même dénominateur,
- je factorise le numérateur de la fraction,
- je réduis et je simplifie.
Si tu ne comprends pas tout, c'est à peu près normal pour un élève de quatrième...

Une pyramide à N étages a donc N(N+1)(N+2)/6 billes. Tu peux vérifier que pour N valant 1, 2, 3, etc. on retombe sur 1, 4, 10, etc. billes.

Une pyramide à 100 étages est faite avec 100*101*102/6 = 171700 billes.
Et ton prof de maths est un p**ain de sadique. Ne le félicite pas de ma part : ce sont ces profs qui vous traumatisent des générations d'élèves et leur empêchent de réellement savoir ce qui les intéresse...

je vois que vous ne maîtrisez pas une seconde le programme de collège pour balancer de telle stupidité sur la toile, prof de maths ou pas.
Un pb peut se résoudre de différentes manières, vous donnez une réponse bien trop compliquée pour des élèves de 4ème. Il faudrait que vous soyez capables de vous mettre au niveau d'un élève de 4ème, ce qui est bien plus compliqué que de résoudre des pbs de mathsup mais voilà toute l'arrogance de certains profs de maths comme vous.
Vous n'étiez pas dans la classe de cet élève, encore moins dans la tête de l'enseignant, un élève de 4ème est capable de remarquer comment on passe d'un étage à un autre et d'utiliser le tableur pour arriver à calculer le nombres de billes nécessaires pour 100 étages.
J'ai donné quasi le même à des 6e en ne considérant que les faces d'une pyramides (un vrai succès d'ailleurs), nous devons éveiller leur curiosité et non les enfermer dans des exos stéréotypés.
Bref, soyez humble et ouvert d'esprit mais vous avez bcp de travail sur vous à faire si cela vous est encore possible.
Un vrai prof de maths.

aunryz · #47

Hello

débat super intéressant !

Belle diversité de point de vue !

[peut-être un peu trop de "réactions" qui donnent parfois aux développements proposés un ton de conflit]

-----------------------

-----------------------

Il n'y a pas de réponse absolue
surtout lorsque
le produit demandé est un outil de progression
et non
un truc qu'on va vendre et qui répond aux besoins d'un client
et doit les satisfaire.

---

On peut donner une tâche pour des tas de raisons différentes

La France a un problème avec les maths
qui sont souvent enseignées pour elles-mêmes

alors que certains contenus sont utiles
au niveau sensibilisation (: plaquette touristique qui donne envie)
d'autres au niveau information (: voyage organisé, survol, ...)
d'autres au niveau apprentissage (: étude approfondie ... compréhension)
d'autres au niveau systématisation ( : j'y pense même plus quand je le fais)

Voir les résultats catastrophiques que cela donne ( TIMSS et PISA)

En fait, à l'Ecole, la recherche de "la bonne solution, la bonne méthode etc."
stérilise totalement l'esprit et conduit souvent l'élève à ne pas avancer lorsqu'il ne voit pas la solution
(quand ton but est caché derrière une colline, il faut souvent aller dans une direction que tu "essaies" pour commencer à l'apercevoir.
L'élève français qui ne le voit pas n'avance pas.)

Les travaux du type proposé ici sont souvent (?) donnés pour que l'élève
passe à l'action (= mise en jeu - dans le domaine du sport)

Donner des méthodes de résolution
c'est souvent ce qu'une aide (parent, prof en cours particulier, P2T (sourire)²)
fait, pour emballer la solution (résoudre le problème, dissoudre le travail (sourire)²²)
alors que
comme le travail en salle de gym
le but n'est pas de lever la fonte
sinon je ne vais pas me fatiguer les bras, je prend un outil - une méthode - qui raccourcit la tâche
(souvent les parents apprennent la règle de trois à leur enfant qui a un problème de proportionnalité en cm2 ou sixième, squeezant tout accès à la compréhension de ce qu'est la proportionnalité)

N'importe quel élève peut entrer dans la tâche proposée ici.

Le problème principal
- on le voit ici à l'angoisse de l'élève ou du parent -
est
la note ! **

totalement contre-productive ici

le retour que l'enseignant doit (?) faire sur ce type de travail
est
une appréciation (commentée, éventuellement évaluée sur 4 niveau*)
des démarches engagées
de la rédaction sur le papier de ces démarches
de la qualité formelle de la production

surtout pas une note.

-----

Pour répondre sur le fond

Les aides les plus intéressantes données ici
sont celles qui donnent à visualiser le problème ("fais donc des dessins complétant ce qui est montré dans l'énoncé")

et permettent d'aller vers
les premières étapes et observations que l'on peut en tirer
(observation
des "différences"
de leurs progression
lien entre une étape n et l'étape n+2 - intéressant même si cela ne produit pas LA réponse.)
...
un début de généralisation (hypothèses) et des conseils pour leur "test"

-- ultime remarque --

D'accord avec ce qui a été évoqué
une recherche de ce type se doit de correspondre
à la réalité qu'elle évoque (si elle en évoque une)

Il serait donc bon de préciser que les boules sont collées ou soudées à leur point de contact pour ne pas donner l'impression d'avoir créé l'exercice pour l'exercice

*
NA non abordé
AD amorce de démarche
DA démarche qui fait avancer vers la solution
DC démarche qui aboutit à un niveau de conclusion suffisant.
(ou un chiffre pour ceux qui ne peuvent faire autrement)

** voir à propos de la "commande" faite à l'élève (voire au parent ou à l'enseignant ... etc)
https://www.youtube.com/watch?time_cont … FEtiA18lZU
Roland Gori - La Fabrique des Imposteurs

Taz · #48

Peut-être suffit-il de préciser ce qu'on attend de toi :

narration : raconter
recherche : chercher

on ne te demandera pas forcément d'aboutir au résultat final mais plutôt de faire des essais en étant capable d'expliquer ce que tu as fait, pourquoi tu l'as fait puis de poursuivre tes recherches en essayant de te rapprocher de la question posée.
(je ne pense pas qu'obtenir une quelconque formule soit le but recherché absolument)

ka · #49

je suis actuellement en classe de 5eme notre professeur nous a donné le meme exo

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.	Déconnexion
Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier. Accueil Forum	[+]

#26 - 06-06-2012 15:48:49

Pyarmides avec billes

#0 Pub

#27 - 06-06-2012 17:40:54

yPramides avec billes

#28 - 06-06-2012 18:40:27

Pyramiddes avec billes

#29 - 07-06-2012 09:59:35

Pyramides avec biles

#30 - 02-11-2012 09:23:43

Pyramdes avec billes

#31 - 02-11-2012 12:53:32

Pyamides avec billes

#32 - 02-11-2012 13:24:40

Pyramides avec billles

#33 - 02-11-2012 14:07:50

Pyramide avec billes

#34 - 02-11-2012 16:36:47

Pyramides avec iblles

#35 - 02-11-2012 17:35:21

pyrzmides avec billes

#36 - 02-11-2012 17:52:49

Pyramides avec billles

#37 - 02-11-2012 17:57:30

Pyramides avvec billes

golgot59 a écrit:

#38 - 02-11-2012 17:58:27

pyrzmides avec billes

#39 - 02-11-2012 18:10:40

Pyrramides avec billes

nodgim a écrit:

#40 - 02-11-2012 18:52:56

Pyramide savec billes

#41 - 02-11-2012 20:10:58

pyramideq avec billes

gwen27 a écrit:

#42 - 02-11-2012 20:36:56

Pyramides avec bille

#43 - 02-11-2012 21:00:36

Pyramides avec bille

#44 - 03-11-2012 11:22:50

pyramides avec bilkes

gwen27 a écrit:

nodgim a écrit:

#45 - 04-10-2013 16:03:46

Pyramides avec billles

#46 - 09-01-2017 21:57:08

Pyraimdes avec billes

MthS-MlndN a écrit:

#47 - 14-01-2017 12:11:44

Pyramides avec illes

#48 - 14-01-2017 22:18:19

Pyramids avec billes

#49 - 10-03-2017 17:54:40

Pyramides avec bilels

Réponse rapide

Sujets similaires

Mots clés des moteurs de recherche

Pied de page des forums