Bof...

Tu veux qu'on cherche 3 chiffres $a$, $b$ et $c$ tels que $a + b +c = ab - c.$
Donc $ab = a + b + 2c$

On voit que $a$ et $b$ sont tous les deux forcément pairs.
Il suffit alors de lister tous les couples pairs, tels qu'il existe un chiffre $c$ obéissant à l'équation.
Par exemple $a = 2$, $b = 4$ et $c= 1$.
Mais il y en a d'autres....

Trouver les solutions entières de $x+y+z=xy-z$, donc. Sont-ce des chiffres ou des nombres ?

(Plus exactement, sont-ce des nombres à un chiffre ou à plusieurs ? On rappelle que le chiffre est au nombre ce que la lettre est au mot : le caractère permettant de l'écrire. Et de la même manière qu'on ne peut pas additionner la lettre A et la lettre Q, on ne peut pas calculer la somme de deux chiffres, mais des deux nombres représentés respectivement par un de ces chiffres écrit seul. Je commence à en avoir marre de radoter...)

On peut d'ores et déjà virer la solution $(0;0;0)$, la plus triviale de toutes...
On peut aussi constater que :
- si x vaut 0, on obtient $y+z=-z$ soit $y=-2z$ soit $y=z=0$, et que
- si z vaut 0, alors on obtient $x+y=xy$ qu'on peut écrire, si x est différent de zéro (ça nous ferait retomber sur le triplet nul), $y = \frac{x}{x-1}$. Seule solution entière avec $x=2$ et $y=2$.

Donc, s'il existe des solutions différentes de $(0;0;0)$ et $(2;2;0)$, elles sont telles que x, y et z sont tous les trois non nuls. Une bonne chose de faite.

On modifie l'équation : $x+y+2z=xy$, donc $x+y$ et $xy$ doivent avoir la même parité, ce qui est le cas seulement si x et y sont tous les deux pairs.

J'ai réussi à me planter sur la suite, donc on va plutôt prendre chaque paire de nombres pairs et calculer $z = \frac{xy-x-y}{2}$. Et vu que $xy$ est plus grand que $x+y$ quand x et y se mettent à grandir, "sky's the limit". Sauf si on veut des nombres à un seul chiffre, auquel cas on s'arrête à $(x,y)=(2,4)$ ou $(x,y)=(4,2)$.

La solution n'est pas unique 241, 283, 456

Soient a, b et c les trois chiffres recherchés.

On a :
a + b + c  =  x
et
a.b - c  =  x

Donc :
a + b + c  =  a.b - c
a + b + 2c  =  a.b

En testant les différentes valeurs de c (de 0 à 9), je trouve les couples (a;b) (ou (b;a) ) possibles :
c = 0        a + b  =  a.b        (0;0) (2;2)
c = 1        a + b + 2  =  a.b        (2;4)
c = 2        a + b + 4  =  a.b        (2;6)
c = 3        a + b + 6  =  a.b        (2;8)
c = 4        a + b + 8  =  a.b        (4;4)
c = 7        a + b + 10  =  a.b        (4;6)

a+b+c = a*b-c <=> a*b = a+b-2c

Si a ou b est impair, la parité est différente de chaque coté de l'égalité donc a et b sont pairs.
Il reste a lister les couples a,b de {0, 2, 4, 6, 8}² pour lesquels il existe un c dans [0,9]

2, 2, 0
2, 4, 1
2, 6, 2
2, 8, 3
4, 2, 1
4, 4, 4
4, 6, 7
6, 2, 2
6, 4, 7
8, 2, 3

Bonjour à tous,

Soit a,b,c trois chiffres (ou nombres entiers).

L'énoncé nous indique que : a+b+c = a*b-c = X

Nous avons donc les deux égalités suivantes :

X+c = a*b et X-c = a+b   (1)

On additionne membre à membre ces deux égalités :

2X = a*b + a + b soit X = (ab+a+b)/2   (2)

Si on s'impose que X doit être un nombre entier, cela implique que 2X est pair et donc les nombres a et b sont pairs aussi.

En remplaçant dans (1) X par l'expression trouvée en (2) on obtient :

c = (ab-a-b)/2

Donc, quelque soit a et b entiers pairs, si c = (ab-a-b)/2 alors a+b+c = a*b-c

Exemple avec a=2 et b=4 :

c = (2*4-2-4)/2 = 1

2+4+1 = 2*4-1 = 7

Si on considère que a,b,c sont des chiffres, alors l'ensemble des solutions est le suivant :

(2,2,0)
(2,4,1)
(2,6,2)
(2,8,3)
(4,4,4)
(4,6,7)

(a et b sont bien sûr permutables)

Je prends 3 CHIFFRES.

Quels nombres ai-je pris?

ça sent le piège...

On cherche a, b et c tels que: a+b+c=ab-c
On remarque tout de suite que a et b ont des roles symétriques, on peut donc supposer a<=b et ensuite dupliquer tous les triplets pour lesquels a < b.
Si (a,b,c) est solution, (b,a,c) est solution.

a+b+c=ab-c <=> (a-1)(b-1)=2c+1 sans oublier que a, b, et c sont des chiffres.
c=0: (a-1)(b-1)=1: a=b=2: (2,2,0)
c=1: (a-1)(b-1)=3: a-1=1 et b-1=3 (a<=b): (2,4,1)
c=2: (a-1)(b-1)=5: a-1=1 et b-1=5 (a<=b): (2,6,2)
c=3: (a-1)(b-1)=7: a-1=1 et b-1=7 (a<=b): (2,8,3)
c=4: (a-1)(b-1)=9:
   a-1=1 et b-1=9 (a<=b): (2,10,3): Impossible (10 n'est pas un chiffre)
   a-1=3 et b-1=3 (a<=b): (4,4,4)
c=5: (a-1)(b-1)=11: a-1=1 et b-1=11 (a<=b): Impossible
c=6: (a-1)(b-1)=13: a-1=1 et b-1=13 (a<=b): Impossible
c=7: (a-1)(b-1)=15: a-1=3 et b-1=5 (a<=b): (4,6,7) (1,15 Impossible)
c=8: (a-1)(b-1)=17: a-1=1 et b-1=17 (a<=b): Impossible
c=9: (a-1)(b-1)=19: a-1=1 et b-1=19 (a<=b): Impossible

Donc au total les solutions sont:
(2,2,0), (2,4,1), (2,6,2), (2,8,3), (4,4,4), (4,6,7)
et par symétrie:
(4,2,1), (6,2,2), (8,2,3), (6,4,7)

Merci pour ce petit problème.

Il me manque la plus évidente: (0,0,0) qu'il semble que j'ai éliminé inconsciemment.

D'autre part, je ne peux que "plussoyer" Mathias: Il y a une différence entre nombre et chiffre et il est important de la respecter. Au dela d'un certain point, il n'est plus possible de progresser en mathématiques sans une certaine rigueur.
Cela me rappelle une anecdote que je vous livre: Lorsque j'étais en Terminale C (à mon époque ça s'appellait encore comme ça ), mon prof de math m'a enlevé 5 points sur 20 à une interro parce que j'avais écrit: "la fonction f(x) est décroissante". J'ai eu 15/20 ce jour là et depuis je porte la plus grande attention à la précision de ce que j'écris...
Il était aussi très friand des équivalences pas équivalentes, toujours avec le même tarif... Genre: (x-1)(x-2)=(x-1)(2x-3) <=> x-2=2x-3  -> -5 points.
Avec le recul, je ne peux qu'approuver...

rivas a écrit:

Lorsque j'étais en Terminale C (à mon époque ça s'appellait encore comme ça ), mon prof de math m'a enlevé 5 points sur 20 à une interro parce que j'avais écrit: "la fonction f(x) est décroissante".

Excellent cas d'école (justement) !